Matematica del continuo

1. Concetti elementari della teoria degli insiemi. Relazioni su insiemi. Applicazioni tra insiemi.
Cenni di calcolo combinatorio.
2. Gli insiemi N,Z,Q,R dei numeri naturali, interi relativi, razionali e reali, con le loro strutture
algebriche e di ordine. Completezza di R. Gli spazi R^n (n=1,2,3, ).
3. Cenni sulla nozione astratta di spazio vettoriale. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali e
matrici. Equazioni lineari.
4. Generalità sulle funzioni definite su un sottoinsieme di R, a valori in R. Nozioni di limite
e continuità per tali funzioni. Alcune funzioni elementari: polinomi, esponenziale,
logaritmo, funzioni trigonometriche.
5. Le successioni reali, e la relativa nozione di limite. Serie reali.
6. Nozione di derivata per le funzioni reali di una variabile reale. Discussione sul significato
geometrico della derivata, e sulle sue applicazioni. Derivate delle funzioni elementari.
Principali proprietà delle funzioni derivabili.
7. Derivate di ordine superiore al primo. Formula di Taylor. Uso della formula di Taylor nel
calcolo dei limiti. Cenni sulla serie di Taylor.
8. Uso delle derivate per determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione reale di
una variabile reale, e gli intervalli in cui tale funzione è crescente, decrescente, convessa o
concava.
9. Teoria dell'integrazione secondo Riemann per le funzioni reali di una variabile reale.
Significato geometrico dell'integrale di Riemann. Il teorema fondamentale del calcolo.
Principali regole di integrazione.
10. Il campo complesso. Modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica di un numero
complesso. Cenni sui limiti, sulla derivazione e sull'integrazione di funzioni a valori
complessi. Cenni sulle successioni e le serie complesse. L'esponenziale in campo
complesso; formula di Eulero. Radici n-esime di un numero complesso. Il teorema
fondamentale dell'algebra.