Calcolo delle probabilità e statistica matematica 1

A.A. 2019/2020
9
Crediti massimi
90
Ore totali
SSD
MAT/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
1) Fornire le nozioni e gli strumenti di base del calcolo delle probabilità, basato sulla teoria della misura. L'insegnamento si propone di fornire agli studenti i fondamenti della materia al livello richiesto per gli insegnamenti che seguiranno nel loro curriculum.
2) Presentare in modo preciso e sistematico le nozioni relative alle variabili aleatorie scalari e vettoriali (leggi, momenti, indipendenza, leggi condizionate eccetera) necessarie per un'adeguata comprensione dei modelli probabilistici e per lo studio ulteriore nell'ambito della statistica, dei processi stocastici e del calcolo stocastico.
3) Esporre in dettaglio alcuni tra i più importanti teoremi limite del calcolo delle probabilità (leggi dei grandi numeri e teorema centrale del limite) e le loro principali applicazioni, in particolare alla statistica.
4) Nella parte di laboratorio, fornire le conoscenze di base per la generazione di numeri casuali con preassegnata distribuzione e le applicazioni fondamentali di queste tecniche.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti avranno acquisito i fondamenti di teoria della probabilità necessari per ogni ulteriore approfondimento di tipo matematico o applicativo, sia nella direzione della statistica matematica sia per lo studio dei processi stocastici o del calcolo stocastico e delle loro applicazioni.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Periodo
Secondo semestre
Programma
1) Teoria della probabilità.
Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza. Probabilità e variabili aleatorie in modelli di esperimenti con un numero finito o numerabile di esiti. Probabilità sull'insieme dei numeri reali.

2) Variabili aleatorie.
Variabili aleatorie e loro leggi. Integrazione rispetto a una misura di probabilità. Valore atteso e momenti. Vettori aleatori e leggi multivariate. Indipendenza di variabili aleatorie. Esempi di variabili aleatorie usate nei principali modelli probabilistici. Funzioni caratteristiche. Leggi gaussiane multivariate, campioni gaussiani.

3) Convergenza di variabili aleatorie.
Convergenza quasi certa, in probabilità, in media di ordine p. Leggi dei grandi numeri. Convergenza debole delle misure di probabilità. Funzioni caratteristiche e convergenza in legge. Teorema centrale del limite. Applicazioni alla statistica.

4) Valore atteso condizionato.
Definizione generale di valore atteso condizionato rispetto a una sigma-algebra. Probabilità condizionate e leggi condizionate. Leggi condizionate per vettori gaussiani.

5) Laboratorio.
Generazione di numeri casuali con distribuzione preassegnata. Metodo della trasformata inversa, metodo del rigetto. Applicazioni.
Prerequisiti
Sono richieste alcune nozioni acquisite nei corsi di Analisi Matematica 1, 2 e 3, in particolare teoria dell'integrazione (compresi integrali impropri, multipli, e cambi di variabili) e successioni di funzioni. Si usano anche nozioni di base in teoria delle matrici (prodotti, matrici ortogonali, matrici definite positive ecc.), insegnate nel corso di Geometria 1. Durante il corso vengono richiamati e utilizzati concetti e risultati di teoria della misura, che sono trattati in modo sistematico nel corso di Analisi Matematica 4 che si tiene nello stesso semestre.
Metodi didattici
Lezione frontale per la parte di teoria e di esercitazioni. Attività didattica in aula informatizzata per la parte di laboratorio.
La frequenza a lezioni, esercitazioni e laboratorio non è obbligatoria, ma è molto consigliata.
Materiale di riferimento
Libro di testo:
J. Jacod, Ph. Protter. Probability Essentials. Springer, 2003, 2 ed.

Altro materiale didattico su argomenti particolari sarà costituito da dispense del docente, disponibili liberamente sul sito web del corso.

Ulteriori libri per consultazione sono i seguenti:
A.F. Karr. Probability. Springer, 1993.
P. Baldi. Calcolo delle Probabilità. McGraw-Hill, 2007.
P. Baldi, R. Giuliano, L. Ladelli. Laboratorio di Statistica e Probabilità, problemi svolti. McGraw Hill, 1995.
V. Capasso, D. Morale. Guida allo Studio della Probabilità e della Statistica Matematica. Esculapio Editore, 2013 (il capitolo sulla simulazione).
Sheldon M. Ross. A Course in Simulation. Prentice Hall, 1990.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta, una prova orale ed una prova di laboratorio.

- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi collegati al programma del corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA e/o sul sito internet del corso.
- Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati.
- La prova di laboratorio consiste nella risposta a una domanda su un argomento svolto e abitualmente nella scrittura di un semplice codice; si svolge contestualmente alla prova scritta e mira a valutare la capacità dello studente di applicare le nozioni apprese.

L'esame si intende superato se la valutazione finale su tutte le prove è positiva. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.

Una descrizione molto dettagliata delle modalità di esame sarà resa disponibile subito dopo l'inizio delle lezioni sulla pagina internet del corso.
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 33 ore
Laboratori: 12 ore
Lezioni: 45 ore
Turni:
Turno A
Docente: Maurelli Mario
Turno B
Docente: Morale Daniela
Docente/i
Ricevimento:
Lunedì 10:30-13:30 (con preavviso, salvo impegni accademici)
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, studio 1017.
Ricevimento:
Lunedì 16-18 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Dipartimento di Matematica (via Saldini 50), secondo piano, studio 2115
Ricevimento:
Martedì 10-12 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Via Saldini 50, secondo piano