Finanza matematica 1

I Introduzione ai mercati finanziari e alle opzioni
Introduzione generale alla Finanza Matematica. Leggi finanziarie e regimi di capitalizzazione. Relazione di preferenza e loro rappresentazione in termini di utilità attesa (*). Avversione al rischio e certo equivalente.
Mercato uniperiodale: modello binomiale e trinomiale. Opzioni: definizioni e caratteristiche. Principio di non arbitraggio. Replicabilità di contingent claims. Completezza e incompletezza del mercato. Misure neutrali al rischio. La valutazione delle opzioni replicabili. Put-Call parity. Strumenti speculativi e di copertura.

II Cenni sui processi stocastici in tempo discreto
Spazi di probabilità. Richiami sugli spazi Lp. Definizione e proprietà del valor atteso condizionato. Processi stocastici, processi adattati e prevedibili, filtrazione naturale. Martingale in tempo discreto. Supermartingale e decomposizione di Doob. La proprietà di submartingala del quadrato di una martingala. Misure equivalenti di martingala. Proprietà di martingala dell'integrale stocastico elementare.

III Mercati in tempo discreto.
Il mercato multi-periodale. Strategie d'investimento. Il processo del valore del portafoglio. I "contingent claims" replicabili. Opportunità di arbitraggio e il principio di non arbitraggio. Misure di probabilità equivalenti di martingala e valutazione neutrale al rischio. Il I teorema fondamentale di valutazione: NA è equivalente all'esistenza di una misura equivalente di martingala. Il II teorema fondamentale di valutazione: completezza del mercato. La formula di valutazione di claims replicabili. Il modello binomiale: la formula di valutazione e le strategie di copertura. Valutazione di contingent claims particolari: Opzioni Lookback, Asiatiche, Chooser, Compound.

IV Completezza e incompletezza del mercato
Richiami di analisi funzionale: spazi duali, topologie compatibili con un sistema duale, topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare.
L'insieme K e sua caratterizzazione attraverso strategie d-dimensionali. Il cono C dei contingent claims super replicabili. La condizione di non arbitraggio. Dimostrazione generale del I FTAP, sia nel mercato uni periodale condizionale sia in quello multi periodale. Condizione di NFL e di NFLVR e la chiusura debole di C. Relazioni fra NA, NFL, NFLVR. Equivalenza fra NFL e M^e non vuoto.
Caratterizzazione dell'insieme delle misure di martingala M^a, come insieme polare di C (normalizzato). Caratterizzazione del cono C come polare di M^a. Densità in M^a dell'insieme delle misure equivalenti di martingala.
Caratterizzazione dei contingent claims replicabili. Dimostrazione del II FTAP.
Mercati incompleti. Valutazione di contingent claims in mercati incompleti. Il prezzo di super-replicazione e l'intervallo di non arbitraggio. Teorema di dualità per il prezzo di super replicazione nell'ipotesi che il cono convesso C sia debolmente chiuso.
Massimizzazione dell'utilità attesa. Definizione di "Fair Price" di un contingent claim. La misura equivalente di martingala associata al Fair Price. Il caso dell'utilità esponenziale. Il problema della minimizzazione dell'entropia relativa. Dualità fra massimizzazione dell'utilità esponenziale e minimizzazione dell'entropia relativa.

V Opzioni americane in mercati completi
Contingent claim americani, tempi di arresto e strategie di esercizio, decomposizione di Doob, processi arrestati, Doob's Stopping theorem per martingale e supermartingale.
Approccio del seller, l'inviluppo di Snell e proprietà.
Approccio del buyer, il problema del tempo d'arresto ottimale, l'inviluppo di Snell come soluzione. Due caratterizzazioni dei tempi d'arresto ottimali. Tempi d'arresto min e max. Tempo d'arresto per P*, copertura P*-q.o. e completezza del mercato.
Paragone fra le opzioni americane ed europee, call e put: teoria e interpretazione.

VI Opzioni americane in mercati incompleti
Contingent claim americani e prezzi liberi da arbitraggi, gli estremi dell'intervallo dei prezzi di non arbitraggio. Contingent claim americani replicabili e loro caratterizzazione.

VII Copertura di opzioni americane
P-Supermertingale, decomposizione di Doob uniforme. Inviluppo superiore di Snell e proprietà. Il teorema che fornisce una formulazione equivalente dell'inviluppo superiore di Snell.
Copertura di contingent claim americani. Strategie di super-replicazione. Costo minimo di super-replicazione.

VIII Cenni su metodi alternativi di valutazione
Quantile hedging. Shortfall risk minimization. Super replicazione e misure di rischio. Local risk minimization.