Finanza matematica 2

A.A. 2019/2020
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
SECS-S/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Lo scopo dell'insegnamento è di fornire una introduzione agli argomenti principali relativi ai modelli in tempo continuo di Finanza Matematica, che coinvolgono tecniche avanzate del Calcolo Stocastico e dell'ottimizzazione dinamica.
Risultati apprendimento attesi
Calcolo del prezzo per via probabilistica/analitica di derivati finanziari in mercati completi/incompleti descritti da processi stocastici a tempo continuo di tipo diffusivo. Risoluzione di alcuni problemi di ottimizzazione dinamica, tramite metodi di controllo/arresto ottimo.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Il corso presenta i modelli matematici a tempo continuo che vengono applicati nella finanza moderna ed è composto da 4 blocchi.

1) Cenni sui processi stocastici.
Moto Browniano. Martingale in tempo continuo. La martingala esponenziale. Traiettorie del MB non a variazione limitata. Variazione quadratica del MB.
L'integrale stocastico rispetto al MB e proprietà di martingala. Processi di Ito e la formula di Ito. Lemma di Novikov e teorema di Girsanov. Proprietà di rappresentazione prevedibile. Esempi di equazioni differenziali stocastiche.

2) Modelli in tempo continuo e il modello di Black e Scholes
Descrizione del modello di BS e sua analisi alla luce dei principi generali di valutazione. Verifica dell'esistenza di una misura equivalente di martingala. La formula di BS e sua derivazione (metodo probabilistico e metodo analitico). L'equazione alle derivate parziali di BS e condizioni al contorno.
Valutazione di derivati in mercati incompleti a tempo continuo. Valutazione con strumenti finanziari non negoziabili: l'equazione alle derivate parziali e il prezzo di mercato del rischio. Il problema della calibrazione.
Volatilità implicita: effetto "smile". Limiti del modello di BS. Cenni ai modelli con volatilità locale e con volatilità stocastica.

3) Pricing di opzioni esotiche e americane
Lookback options e Asiatic options. Opzioni americane: problema di optimal stopping. Calcolo del prezzo di American Put Options perpetue: un approccio probabilistico. Calcolo del prezzo di American Put Options con scadenza fissata e American Call Options (senza dividendi).

4) Introduzione al controllo ottimo stocastico.
Esempi di problemi di controllo ottimo deterministico e stocastico. Risoluzione di un problema di controllo ottimo deterministico. Formulazione matematica nel caso stocastico con orizzonte finito: controlli ammissibili, il Principio di Programmazione Dinamica, l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman, il Teorema di Verifica. Applicazioni alla Finanza: il problema di Merton, il controllo lineare quadratico e cenni al problema di investimento consumo. Controllo ottimo e rischio di un sistema finanziario: ricerca di equilibri di Nash.
Prerequisiti
E' fortemente consigliata la conoscenza degli elementi fondanti la finanza matematica, la teoria della probabilità e dei processi stocastici, presentati negli insegnamenti di Finanza Matematica 1, Probabilità e Processi Stocastici.
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
Sito web:
https://mmaggisfm2.ariel.ctu.unimi.it

Testi di riferimento:
1. T. Bjork: "Arbitrage Theory in Continuous Time", 3rd edition, Oxford University Press, 2009.
2. H. Pham: "Continuous-time Stochastic control and Optimization with Financial Applications", Springer 2009.
3. A. Pascucci: "Calcolo stocastico per la finanza" Springer, 2008.
4. S. Shreve: "Stochastic Calculus for Finance II", Springer, 2004.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale durante la quale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema di valutazione di strumenti finanziari o ottimizzazione dinamica, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare in modelli specifici.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
SECS-S/06 - METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1043, primo piano, Dip. di Matematica, Via Saldini 50
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1005