Geometria 4

A.A. 2019/2020
9
Crediti massimi
89
Ore totali
SSD
MAT/03
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire le nozioni di base della teoria delle varietà differenziabili, con particolare riferimento al caso delle curve e superfici in R^3.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente acquisirà le nozioni di base sulle varietà differenziabili ed imparerà ad utilizzarle nello studio di alcuni casi concreti.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di matematica dei primi tre semestri
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.

- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, ed alcuni esempi, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Geometria 4 (prima parte)
Programma
Definizione di varietà topologica ed esempi. Varietà topologiche a bordo. Superfici Tg e Uh ed enunciato del teorema di classificazione delle superfici topologiche.

Definizione di atlante liscio, struttura differenziabile e varietà differenziabile.
Teorema sugli atlanti massimali. Applicazioni differenziabili e loro composizione.
Definizione di diffeomorfismo tra varietà lisce ed esempi.
Teorema del rango per mappe lisce tra varietà differenziabili. Definizione di immersione, sommersione, embedding. Esempi.
Definizione di sottovarietà (regolare) e immersa.
Immersioni iniettive per varietà compatte e criterio affinché una fibra sia una sottovarietà.

Introduzione alle curve differenziabili in Rn. Definizione di curva parametrizzata. Cambio di parametro e definizione di curva differenziabile in Rn.
Curve regolari e vettore tangente. Lunghezza di un arco di curva e parametro arco per curve regolari. Proprietà del parametro arco ed esempi. Triedro di Frenet. vettore tangente, retta tangente, vettore curvatura, vettore normale.

Fogli semplici di superficie in R3. Superfici differenziabili in R3 come varietà differenziabili di dimensione 2. Piano tangente vettoriale e affine.
Superfici rigate. Coni, cilindri e rigate delle tangenti. Rigate sviluppabili. Superfici di rotazione. Prima forma fondamentale. Calcolo di lunghezze di curve e di angoli tra curve. Isometrie locali tra superfici.
Versore normale. Mappa di Gauss e suo differenziale. Seconda forma fondamentale.
Curvature principali, direzioni principali di curvatura, curvatura media, curvatura gaussiana. Curvatura normale e suo calcolo attraverso la II forma fondamentale. Natura dei punti su di una superficie. Linee asintotiche e linee di curvatura.

Derivazioni e spazio tangente. Mappa pull-back. Derivate direzionali.
Interpretazione geometrica dei vettori tangenti e loro espressione in coordinate locali.
Mappa differenziale e sue proprietà.
Base dello spazio tangente e cambio di coordinate.
Espressione del differenziale in coordinate locali.
Spazio tangente nei punti delle fibre di una mappa liscia.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
M.Abate, F.Tovena, Curve e superfici, New York Springer-Verlag 2006
M.Abate, F.Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
W.M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Orlando Academic Press, Inc. 1986
R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri 1994
Geometria 4 mod/02
Programma
Partizioni dell'unità.
Applicazioni e forme multilineari. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali finitamente generati: proprietà universale. Mult(V1*, , Vn*) come esempio di prodotto tensoriale di V1, Vn. Tensori decomponibili. Prodotto tensoriale e algebra tensoriale. Forme multilineari alternanti. Tensori alternanti. Operatore di antisimmetrizzazione. Prodotto wedge e algebra esterna.

Definizione di fibrato vettoriale. Funzioni di transizione e costruzione di un fibrato a partire dalle funzioni di transizione. Fibrato tangente e fibrato cotangente ad una varietà liscia.
Sezioni di un fibrato vettoriale. Campi vettoriali e cambio di carta. Riferimento locale.

Fibrato delle r-forme su una varietà. r-forme differenziali su una varietà. Il prodotto wedge e l'algebra delle forme. Differenziale esterno. Forme chiuse e forme esatte. Pullback di forme. Proprietà del pullback. 1-forme sulla circonferenza e sui tori.

Orientabilità di una varietà differenziabile e forme di volume.
Orientazione delle Sfere. Criterio di non orientabilità. Orientazione del bordo di una varietà.
Integrazione di forme differenziali.
Teorema di Stokes e alcune sue conseguenze.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
M.Abate, F.Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011
W.M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Orlando Academic Press, Inc. 1986
R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology. New York Springer Verlag 1982
E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri 1994
Moduli o unità didattiche
Geometria 4 (prima parte)
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Esercitazioni: 33 ore
Lezioni: 27 ore

Geometria 4 mod/02
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 3
Esercitazioni: 11 ore
Lezioni: 18 ore

Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
lunedì 12.30-14:30 (contattatemi via mail)
stanza 2045 Dipartimento di matematica