Matematica del continuo
A.A. 2019/2020
Obiettivi formativi
L'obiettivo dell'insegnamento è duplice. Anzitutto, fornire agli studenti un linguaggio matematico di base, che li metta grado di formulare correttamente un problema e di comprendere un problema formulato da altri. Inoltre, fornire gli strumenti matematici indispensabili per la soluzione di alcuni problemi specifici, che spaziano dal comportamento delle successioni a quello delle serie e delle funzioni di una variabile.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente dovrà saper esprimere in modo corretto un certo numeri di concetti e strumenti matematici di base, contestualizzandoli su esempi concreti. Inoltre, dovrà saper scegliere quale di questi strumenti è il più adatto a risolvere un selezionato numero di problemi classici dell'Analisi Matematica. Dovrà quindi saper utilizzare tale strumento nel concreto per la soluzione del problema in esame, o quantomeno avere la conoscenza minima richiesta per comprendere un testo matematico che lo aiuti nella soluzione.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Numeri complessi: rappresentazione algebrica, rappresentazione trigonometrica, operazio-ni tra numeri complessi, radici dell'unità. Teorema fondamentale dell'algebra, decomposizione di polinomi.
Numeri reali, razionali ed interi. Confronto tra razionali ed irrazionali: insiemi numerabile e non numerabili. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale, estremo superiore ed estremo inferiore.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: rappresentazioni, limitatezza e monotonia.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, criteri del rapporto e della radice, nozione di o piccolo e utilizzo, nozione di asintotico e utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero. Altri simboli di Landau: O grande, Omega grande, Theta grande e loro utilizzo nel confronto tra successioni.
Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Nozione di limite per funzioni e relazione con la continuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una cur-va. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital e confronto di infiniti. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizza-zione.
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integra-le definito. Teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti e loro calcolo: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie: shift, inversioni e altre manipolazioni algebriche. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.
Numeri reali, razionali ed interi. Confronto tra razionali ed irrazionali: insiemi numerabile e non numerabili. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale, estremo superiore ed estremo inferiore.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: rappresentazioni, limitatezza e monotonia.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione, confronto tra infiniti, criteri del rapporto e della radice, nozione di o piccolo e utilizzo, nozione di asintotico e utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero. Altri simboli di Landau: O grande, Omega grande, Theta grande e loro utilizzo nel confronto tra successioni.
Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Nozione di limite per funzioni e relazione con la continuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali, esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una cur-va. Calcolo della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l'Hôpital e confronto di infiniti. Formula di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizza-zione.
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann: definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integra-le definito. Teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti e loro calcolo: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o impropria: definizione, esempi notevoli.
Somme finite o sommatorie: shift, inversioni e altre manipolazioni algebriche. Esempi notevoli di sommatorie: potenze di interi e geometriche.
Nozione di serie: esempi notevoli, serie geometrica e serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza, regolarità, criterio del confronto, convergenza assoluta e convergenza semplice. Stima e stima asintotica della rapidità di divergenza o di convergenza di una serie: confronto, confronto asintotico e confronto integrale. Serie armonica generalizzata.
Serie di potenze reali e raggio di convergenza. Serie di Taylor e analiticità. Operazioni algebriche con le serie di potenze, derivazione ed integrazione.
Prerequisiti
Parte del programma ministeriale delle scuole medie superiori, ovvero:
- algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi
- risoluzione di equazione e disequazioni elementari
- elementi di teoria delle funzioni, funzioni elementari, loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni
- elementi di geometria analitica del piano: retta, circonferenza, parabola
- elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione
- elementi di insiemistica
- elementi di logica
- algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi
- risoluzione di equazione e disequazioni elementari
- elementi di teoria delle funzioni, funzioni elementari, loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni
- elementi di geometria analitica del piano: retta, circonferenza, parabola
- elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione
- elementi di insiemistica
- elementi di logica
Metodi didattici
Nelle prime 4 settimane, in parallelo alle lezioni ed esercitazioni dell'insegnamento, viene svolto un progetto di recupero dei prerequiti che prevede:
- un lavoro molto cadenzato e monitorato su una piattaforma di e-learning
- alcune esercitazioni frontali di supporto
La partecipazione e' su base volontaria e prevede un test finale in presenza che, se superato, esonera dalla parte 0 delle prove scritte per l'anno accademico corrente.
L'insegnamento prevede lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna, alternate secondo il calendario pubblicato sul relativo sito Ariel.
Lezioni ed esercitazioni sono suddivise per argomento. Contestualmente alle lezioni dedicated ad un dato argomento, sul sito Ariel vengono pubblicate:
- le tracce delle lezioni stesse, con puntatori al materiale bibliografico
- una lista di esercizi sullo stesso argomento
Gli esercizi della lista sono studiati allo scopo di verificare l'effettiva comprensione teorica dell'argomento ed il suo utilizzo concreto nella soluzione di problemi connessi.
Tipicamente, le esercitazioni relative ad un argomento seguono di una settimana la pubblicazione della lista di esercizi: scopo del ritardo e' premettere agli studenti di cimentarsi nella soluzione di alcuni esercizi in modo autonomo, per sfruttare poi al meglio le relative esercitazioni, dove molti degli stessi esercizi verranno affrontati e risolti dal docente.
Dalle medesime liste di esercizi vengono poi tratti i temi d'esame.
La frequenza a lezioni ed esercitazioni e' fortemente consigliata. Tuttavia, in caso di necessita', sono disponibili le riprese video di una passata edizione (2010/11) delle stesse attivita'.
- un lavoro molto cadenzato e monitorato su una piattaforma di e-learning
- alcune esercitazioni frontali di supporto
La partecipazione e' su base volontaria e prevede un test finale in presenza che, se superato, esonera dalla parte 0 delle prove scritte per l'anno accademico corrente.
L'insegnamento prevede lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna, alternate secondo il calendario pubblicato sul relativo sito Ariel.
Lezioni ed esercitazioni sono suddivise per argomento. Contestualmente alle lezioni dedicated ad un dato argomento, sul sito Ariel vengono pubblicate:
- le tracce delle lezioni stesse, con puntatori al materiale bibliografico
- una lista di esercizi sullo stesso argomento
Gli esercizi della lista sono studiati allo scopo di verificare l'effettiva comprensione teorica dell'argomento ed il suo utilizzo concreto nella soluzione di problemi connessi.
Tipicamente, le esercitazioni relative ad un argomento seguono di una settimana la pubblicazione della lista di esercizi: scopo del ritardo e' premettere agli studenti di cimentarsi nella soluzione di alcuni esercizi in modo autonomo, per sfruttare poi al meglio le relative esercitazioni, dove molti degli stessi esercizi verranno affrontati e risolti dal docente.
Dalle medesime liste di esercizi vengono poi tratti i temi d'esame.
La frequenza a lezioni ed esercitazioni e' fortemente consigliata. Tuttavia, in caso di necessita', sono disponibili le riprese video di una passata edizione (2010/11) delle stesse attivita'.
Materiale di riferimento
Sito web Ariel: Matematica del Continuo - F1X http://mtarallomc.ariel.ctu.unimi.it
Riprese video dell'edizione 2010/11: http://vc.dsi.unimi.it
Testi di riferimento:
- P. Marcellini e C. Sbordone, Calcolo, Liguori
- H.S. Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press (disponibile in rete per uso didattico)
- note del docente su alcuni argomenti specifici
Sul sito Ariel dell'insegnamento sono disponibili vari materiali didattici, tra i quali:
- programma dettagliato dell'insegnamento
- calendario di lezioni ed esercitazioni, con indicazione delgi argomenti trattati
- tracce di tutte le lezioni, suddivise per tematiche e complete di link alla bibliografia
- uno o piu' fogli di esercizi per ognuna delle tematiche trattate
- note del docente e di studenti particolarmente brillanti di precedenti edizioni
- testi di tutte le prove scritte somministrate negli ultimi 10 anni
Riprese video dell'edizione 2010/11: http://vc.dsi.unimi.it
Testi di riferimento:
- P. Marcellini e C. Sbordone, Calcolo, Liguori
- H.S. Wilf, Generatingfunctionology, Academic Press (disponibile in rete per uso didattico)
- note del docente su alcuni argomenti specifici
Sul sito Ariel dell'insegnamento sono disponibili vari materiali didattici, tra i quali:
- programma dettagliato dell'insegnamento
- calendario di lezioni ed esercitazioni, con indicazione delgi argomenti trattati
- tracce di tutte le lezioni, suddivise per tematiche e complete di link alla bibliografia
- uno o piu' fogli di esercizi per ognuna delle tematiche trattate
- note del docente e di studenti particolarmente brillanti di precedenti edizioni
- testi di tutte le prove scritte somministrate negli ultimi 10 anni
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si articola in una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie.
La prova scritta dura 3,5 ore e si compone di tre parti distinte a risposta aperta:
0) verifica dei prerequisiti del corso
1) abilita' di calcolo
2) comprensione delle definizioni principali
Il superamento della parte 0) e' necessario per accedere alla correzione delle parti 1) e 2), con l'ovvia eccezione di chi ha ottenuto l'esonero dalla parte 0 partecipando all'apposito progetto.
Le parti 1) e 2) concorrono assieme a formare un punteggio massimo di 30/30. Tale punteggio tiene conto della correttezza degli argomenti e del lessico utilizzati nelle risposte fornite, e viene sia comunicato per email ai singoli studenti, sia pubblicato sul sito Ariel del corso.
Il superamento della prova scritta consente l'accesso alla prova orale, che parte da una discussione della prova scritta, per poi approdare ai principali argomenti trattati nel corso. Alla prova orale viene attributo un punteggio, positivo o negativo, che viene sommato a quello ottenuto nella prova scritta per formare la valutazione finale.
Durante l'esame non e' consentito l'utilizzo di strumenti di calcolo automatico e di libri, a parte una copia del libro di testo disponibile alla cattedra per consultazione durante la prova scritta.
Sul sito Ariel del corso sono disponibili i testi di tutte le prove scritte somministrate negli ultimi 10 anni.
La prova scritta dura 3,5 ore e si compone di tre parti distinte a risposta aperta:
0) verifica dei prerequisiti del corso
1) abilita' di calcolo
2) comprensione delle definizioni principali
Il superamento della parte 0) e' necessario per accedere alla correzione delle parti 1) e 2), con l'ovvia eccezione di chi ha ottenuto l'esonero dalla parte 0 partecipando all'apposito progetto.
Le parti 1) e 2) concorrono assieme a formare un punteggio massimo di 30/30. Tale punteggio tiene conto della correttezza degli argomenti e del lessico utilizzati nelle risposte fornite, e viene sia comunicato per email ai singoli studenti, sia pubblicato sul sito Ariel del corso.
Il superamento della prova scritta consente l'accesso alla prova orale, che parte da una discussione della prova scritta, per poi approdare ai principali argomenti trattati nel corso. Alla prova orale viene attributo un punteggio, positivo o negativo, che viene sommato a quello ottenuto nella prova scritta per formare la valutazione finale.
Durante l'esame non e' consentito l'utilizzo di strumenti di calcolo automatico e di libri, a parte una copia del libro di testo disponibile alla cattedra per consultazione durante la prova scritta.
Sul sito Ariel del corso sono disponibili i testi di tutte le prove scritte somministrate negli ultimi 10 anni.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
MAT/08 - ANALISI NUMERICA
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA
MAT/02 - ALGEBRA
MAT/03 - GEOMETRIA
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA
MAT/06 - PROBABILITA' E STATISTICA MATEMATICA
MAT/07 - FISICA MATEMATICA
MAT/08 - ANALISI NUMERICA
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA
Esercitazioni: 72 ore
Lezioni: 48 ore
Lezioni: 48 ore
Docenti:
Gori Anna, Tarallo Massimo Emilio
Turni:
-
Docenti:
Gori Anna, Tarallo Massimo Emilio