Metodi matematici della fisica: geometria e gruppi 1

Il corso si prefigge di fornire solide basi di geometria differenziale, tensori e teoria dei gruppi per affrontare i corsi di Fisica Teorica 1, Fisica Teorica 2 e Teoria delle interazioni fondamentali 1, oltre che la maggior pare dei corsi avanzati di Struttura della Materia, Fisica Nucleare e Astrofisica.

- definizione di oggetti tensoriali e le loro leggi di trasformazione
- formulazione di leggi fisiche e teorie classiche di campo in forma covariante
- calcolo differenziale assoluto ed estensione delle operazioni differenziali in ambito di relativita' ristretta e relativita' generale, azione di Einstein-Hilbert e derivazione delle equazioni di Einstein
- linguaggio e metodi delle forme differenziali e delle varieta' differenziali unitamente ai relativi aspetti topologici (mappe, atlanti, ricoprimenti, spazi tangente)
- formalizzazione di operazioni fisiche di simmetria in termini di gruppi e loro rappresentazioni
- proprieta' algebriche dei gruppi (classi di coniugazione, sottogruppi, cosets, gruppo quoziente)
- gruppi di Lie e algebra di Lie, forme differenziali dei generatori
- gruppi discreti e cristallografici e teoria della rappresentazione e dei caratteri
- teoremi fondamentali della teoria della rappresentazione dei gruppi (grande teorema di ortogonalita', lemmi di Schur e relative dimostrazioni)
- teoria della rappresentazione e dei caratteri di SO(3), SU(2) etc, gruppi di Lorentz e Poincare' nell'ambito di problemi fisici, rappresentazioni di Weyl, Dirac e vettore di Pauli-Lubanski
- applicazioni della teoria dei gruppi a problemi di meccanica quantistica: coefficienti di Clebsch-Gordan, matrice ridotta di Wigner, level splitting e problemi di fisica dello stato solido (simmetrie di cristalli, crystal field splitting, proprieta' tensoriali dei cristalli)