Teoria analitica dei numeri

A.A. 2019/2020
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Inglese
Obiettivi formativi
L'insegnamento intende introdurre lo studente ad alcuni dei principali argomenti della teoria analitica dei numeri.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente sarà in grado di utilizzare alcuni dei metodi fondamentali e dei risultati della Teoria Analitica dei Numeri.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Teorema dei numeri primi: zeta di Riemann, regione priva di zeri, dimostrazione tramite teorema tauberiano e dimostrazione elementare col metodo di Bombieri-Wirsing.

Crivelli: metodo lambda quadro di Selberg. Teorema di Brun-Titchmarsh. Risultato di Brun sui primi gemelli. Teorema di Romanov (prima dimostrazione).

Sumsets: densità alla Schnirelmann. Teorema di Mann. Teorema di esistenza di una base asintotica per insiemi di densità positiva. Relazione tra densità di Schnirelmann e densità naturali. Risultato di Schnirelmann sulla congettura di Goldbach. Teorema di Romanov (seconda dimostrazione).

Insiemi di interi e progressioni aritmetiche: Teorema di van der Waerden. Congettura di Erdös-Turàn su densità e progressioni aritmetiche. Teorema di Roth (sulle terne). Cenno alla dimostrazione di Szemerédi della congettura. Progressioni aritmetiche e primi: terne di primi in progressione aritmetica (a partire da Roth) e cenno al risultato di Green e Tao (a partire da Szemerédi).

Problema di Waring: soluzione di Linnik e Newmann alla parte qualitativa del problema. Cenno all'aspetto quantitativo (serie singolare, risultato di Hardy-Littlewood).
Prerequisiti
Analisi 1/2/3. E' inoltre raccomandata una buona conoscenza dei contenuti di base del corso di Analisi complessa.
Metodi didattici
Tradizionale (lezioni frontali tenute dal docente).
Materiale di riferimento
-G. Molteni: Notes for the course in analytic number theory, disponibile sul sito web del docente alla pagina http://users.mat.unimi.it/users/molteni/didattica/matematica/analytic_n… .
-H. Iwaniec, E. Kowalski: Analytic number theory, AMS Colloquium Publications 53, American Mathematical Society, Providence RI, 2004.
-H. L. Montgomery, R. C. Vaughan: Multiplicative number theory. I. Classical theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
-P. Pollack: Not always buried deep, A second course in elementary number theory, AMS, Providence RI, 2009.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
3/4 Homeworks sono assegnati durante il corso e devono essere svolti per poter accedere all'esame finale. Gli homework possono essere svolti a gruppi. L'esame finale e' individuale (ovviamente) e consiste in una (talvolta lunga) discussione sui temi e risultati presentati durante il corso.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente/i
Ricevimento:
da lunedi a venerdi su appuntamento
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, primo piano, stanza 1044