Analisi matematica 1

A.A. 2020/2021
8
Crediti massimi
80
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire allo studente un'introduzione ed un primo approfondimento della conoscenza dell'Analisi Matematica (essenziale per uno studente di fisica) che continuerà nei corsi di Analisi Matematica 2 e 3. Saranno trattati con rigore metodologico e precisione alcuni concetti basilari, con particolare riferimento a: numeri reali, in quanto campo ordinato completo con la cardinalità del continuo; spazi metrici (incluso il campo reale), come ambiente astratto e generale per la formulazione robusta della nozione di limite di successioni; limiti e continuità di funzioni tra spazi metrici (fondamentale per lo sviluppo del calcolo differenziale ed integrale in spazi euclidei); nel caso specifico e rilevante del campo reale, convergenza di successioni e serie numeriche, calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale ed applicazioni allo studio qualitativo di funzioni.
Risultati apprendimento attesi
1. Conoscenza e comprensione del concetto di campo ordinato completo con cardinalità del continuo.
2. Conoscenza e comprensione del concetto di spazio metrico ed elementi della sua topologia (classificazione di punti ed insiemi).
3. Conoscenza e comprensione del concetto di limite di successioni in spazi metrici (unicità del limite, condizioni necessarie per la convergenza).
4. Conoscenza e comprensione del concetto di limite per successioni reali e strumenti per il calcolo (regolarità di successioni monotone, criteri del confronto, proprietà algebriche, simboli di Landau e confronto tra infiniti, infinitesimi).
5. Conoscenza e comprensione del concetto di convergenza e divergenza di serie numeriche (modalità diverse di convergenza e loro relazioni).
6. Conoscenza e comprensione degli strumenti per stabilire il carattere di una serie numerica (criterio di Cauchy, del rapporto, del confronto, della condensazione, di Leibniz, ad esempio)
7. Conoscenza e comprensione dei concetti di limite e continuità per funzioni tra spazi metrici.
8. Conoscenza e comprensione delle proprietà delle funzioni continue (esistenza di soluzioni di equazioni in termini di funzioni reali, esistenza di massimi e minimi di funzioni reali su insiemi compatti, proprietà dei valori intermedi per funzioni reali).
9. Conoscenza e comprensione della differenziabilità di funzioni reali di una variabile reale (significato geometrico e cinematico della prima e seconda derivata).
10. Conoscenza e comprensione delle regole di calcolo per le derivate (proprietà algebriche, funzioni composte ed inverse).
11. Conoscenza e comprensione delle applicazioni del calcolo differenziale in una variabile reale (monotonia, convessità, estremi locali, studio qualitativo di una funzione data).
12. Capacità di enunciare correttamente le definizioni ed i teoremi principali.
13. Capacità di ragionamento astratto in un contesto concreto.
14. Capacità di eseguire correttamente e velocemente i calcoli nello svolgimento degli esercizi assegnati durante le prove scritte.
15. Capacità di sintesi ed analisi critica dei concetti studiati e delle loro interazioni.
16. Capacità critica di valorizzazione degli strumenti forniti e dei concetti sviluppati nel contesto dello studio della fisica.
17. Capacità di condurre in modo preciso ed adeguato una discussione sui contenuti e sul significato della materia in seduta di prova orale finale.
18. Capacità di proseguire in modo autonomo nello studio approfondito nei corsi successivi.
19. Capacità di lavorare in gruppo durante le esercitazioni e le attività di tutoraggio proposte, e nella preparazione delle prove scritte e orali.
Programma e organizzazione didattica

CORSO A

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Le lezioni ed esercitazioni dell'insegnamento saranno erogate da remoto
in aule virtuali (piattaforma zoom) in collegamento sincrono,
con la possibilità di interazione in tempo realetra gli studenti e il docente.
Inoltre, è prevista un'attività integrativa in presenza in gruppi ogni due settimane. Informazioni più dettagliate di tale attività potranno essere reperite
su Ariel.
Programma
1. Il campo reale
Insiemi numerici noti: rappresentazione decimale dei razionali. Numeri reali: definizione e principali proprietà. Estremo superiore. Spazi euclidei.

2. Elementi di teoria degli insiemi e spazi metrici
Funzioni: principali proprietà. Insiemi equipotenti: insiemi numerabili, non numerabilità di R. Spazi metrici: intorni, classificazione dei punti. Insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti: loro proprietà. Intervalli chiusi inscatolati e Teorema di Bolzano-Weierstrass.

3. Successioni
Convergenza: definizione e proprietà: unicità e limitatezza. Condizione di Cauchy e completezza di spazi euclidei. Successioni a valori reali: operazioni, permanenza del segno e confronto. Monotonia e limiti. Il numero e di Nepero e i limiti notevoli. Sottosuccessioni: compattezza e classe limite. Simboli di asintotico e o-piccolo.

4. Serie numeriche
Definizioni ed esempi di carattere di una serie. La condizione di Cauchy e quella necessaria per la convergenza. Convergenza assoluta. Serie a termini non negativi e criteri per la convergenza: del confronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice. Criterio di condensazione. Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.

5. Limiti e continuità di funzioni
Funzioni tra spazi metrici. Definizione metrica e successionale di limiti e la loro equivalenza. equivalenza. Limiti delle funzioni elementari e di quelle monotone (esistenza del limite). Asintoti al grafico di una funzione. Continuità puntuale e globale in spazi metrici. Controimmagini di aperti e continuità. Continuità e composizione. Continuità e compattezza e teorema di Weierstrass. Continuità uniforme, teorema di Heine-Cantor. Funzioni reali e continue: teorema degli zeri, dei valori intermedi e di Darboux. Funzioni monotone e discontinuità. Continuità dell'inversa.

6. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Derivata: definizione e significato geometrico. Retta tangente. Continuità e derivabilità. Derivata delle funzioni elementari. Derivata e operazioni, composizione e funzione inversa. Derivate di ordine superiore. Estremanti locali. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teoremi di de l'Hôpital. Formula di Taylor con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi delle funzioni elementari. Concavità e convessità in un intervallo. Punti di flesso. Estremanti relativi.
Prerequisiti
Algebra e geometria elementare, conoscenza ed uso disinvolto della trigonometria, delle funzioni esponenziali e logaritmiche nel campo reale e loro applicazioni a equazioni e disequazioni.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni, entrambe fortemente consigliate. Saranno previste anche attività di tutorato durante le quali gli studenti potranno confrontarsi tra di loro e con un tutor nella risoluzione di esercizi assegnati settimanalmente dai docenti.
Materiale di riferimento
P.M. Soardi. Analisi Matematica. Città Studi.
M. Amar, A.M. Bersani. Esercizi di Analisi matematica. Progetto Leonardo.
L. De Michele e G.L. Forti, Analisi Matematica Problemi ed Esercizi, Clup.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale
La prova scritta, generalmente della durata di due ore, verte sugli argomenti trattati durante le esercitazioni dell'insegnamento. Verrà valutata la capacità dello studente di aver appreso gli strumenti fondamentali relativi a: definizione e proprietà del campo reale, spazi metrici, successioni e serie numeriche, analisi di funzioni in una variabile reale a valori reali. Sono previste prove in itinere sugli stessi argomenti il cui superamento esonera dalla prova scritta.
L'esame orale, cui si accede solo dietro superamento della prova scritta, consiste in una discussione che verte su argomenti trattati nel corso e/o sulla prova scritta; verranno valutate sia la conoscenze e competenze acquisite che la capacità critica di esaminare nuovi problemi o situazioni non esaminate in precedenza. La valutazione finale sarà espressa mediante voto in trentesimi.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 8
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 32 ore

CORSO B

Responsabile
Periodo
Primo semestre
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 8
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 32 ore
Docente: Payne Kevin Ray
Docente/i
Ricevimento:
da lunedì a venerdì su appuntamento
dipartimento di matematica studio 1044
Ricevimento:
LUN e MER 15.30-16.30 e per appuntamento
Studio 2051 nel "sottotetto" del Dip. Matematica - v. Saldini 50
Ricevimento:
su appuntamento
ufficio 1044, I piano Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques", Via Saldini, 50