Argomenti avanzati di analisi reale

-- Teoria della misura: Richiami sulla teoria della misura in generale. Misure di Borel e Radon in spazi euclidei. Funzioni misurabili ed i teoremi di Lusin e Egoroff. Richiami sulla integrazione di funzioni misurabili: enfasi sulle misure di Lebesgue e Hausdorff. Teoremi di ricoprimento di Vitali e Besicovitch. Differenziazione di misure di Radon, il teorema di Radon-Nikodym, teorema di differenziazione di Lebesgue-Besicovitch. Teorema di rappresentazione di Riesz per misure di Radon, convergenza debole e compattezza debole per misure di Radon.

-- Formule di area e coarea: Funzioni lipschitziane ed il Teorema di Rademacher. Mappe lineari e jacobiani di funzioni lipschitziane. Formule di area e coarea.

-- Funzioni BV in più variabili ed insiemi di perimetro finito: Definizioni di funzioni BV e insiemi di perimetro finito, teorema di struttura per funzioni BV. Approssimazione e compattezza per funzioni BV. Traccia al bordo e prolungamenti di funzioni BV. Formula di coarea, disuguaglianza isoperimetrica e relazione tra capacità e misura di Hausdorff. Il bordo ridotto e teorema di struttura per insiemi di perimetro finito. Teorema della divergenza per campi BV su insiemi di perimetro finito.

-- Differenziabilità di funzioni convesse: Il subdifferenziale e la teoria del primo ordine. Derivate deboli del primo e secondo ordine. Il teorema di Alexsandroff sulla differenziabilità del secondo ordine nel senso di Peano. Subdifferenziale, superdifferenziale del secondo ordine, funzioni semicontinue e funzioni semiconvesse.