Elaborazione dei segnali

PROGRAMMA DETTAGLIATO DEL CORSO

PARTE PRIMA
· Introduzione
- Definizione di segnale e sistema.
- Tempo-continuo vs tempo-discreto.
- Segnali periodici e principali identità trigonometriche (ripasso).
- Numeri complessi (ripasso). Formula di Eulero diretta e inversa.
· Segnali sinusoidali a tempo continuo
- Segnale esponenziale complesso. Algebra dei fasori.
- Composizione lineare di esponenziali complessi.
- Spettro di un segnale composto da esponenziali complessi.
- Prodotto di due sinusoidi. Battimenti (beat tones). Modulazione di ampiezza (introduzione).
- Spettro di un segnale sinusoidale a tempo continuo.
- Proprietà dello spettro di un segnale: moltiplicazione per una costante, somma con una costante, somma di due segnali, traslazione temporale, derivata, moltiplicazione per un esponenziale complesso.
· Segnali periodici
- Periodo di un segnale periodico e frequenze armoniche della fondamentale.
- Serie di Fourier: formule di analisi e sintesi per un segnale tempo-continuo periodico.
- Spettro di un segnale periodico.
- Condizioni di Dirichlet di esistenza della serie di Fourier.
- Prodotto scalare in uno spazio vettoriale e nella rappresentazione cartesiana (ripasso).
- Ortogonalità di due vettori (ripasso).
- Ortogonalità di due funzioni tempo-continue (definizione). Ortogonalità di due esponenziali complessi aventi frequenze diverse.
- Esempio di serie di Fourier: segnale a impulsi ("pulse wave").
- Funzione seno cardinale (definizione e proprietà).
- Sintesi approssimata della serie di Fourier. Frequenza istantanea (cenni introduttivi).
- Modulazione di frequenza e frequenza istantanea di un segnale.
· Dal tempo-continuo al tempo-discreto (e viceversa)
- Campionamento ideale di segnali tempo-continui (introduzione).
- Campionamento di una sinusoide tempo continua: frequenze discrete.
- Equivalenza delle frequenze discrete: alias e alias principale.
- Ricostruzione di una sinusoide tempo continua campionata: ineluttabilità della ricostruzione del solo alias principale.
- Teorema del campionamento o di Shannon. Definizione di Nyquist rate e Nyquist frequency.
- Campionamento di una sinusoide tempo continua e la sua ricostruzione, alla luce del teorema del campionamento. Effetto di: sovra-campionamento; sotto-campionamento a frequenza maggiore, minore o uguale alla frequenza massima del segnale.
- Interpolazione lineare. Ricostruzione per interpolazione lineare. Altri "kernel" di interpolazione e definizione di interpolatore ottimo.
· Filtri digitali
- Filtri FIR (Finite Impulse Response): introduzione.
- Definizione di impulso discreto. Risposta all'impulso di un filtro.
- Risposta all'impulso di un sistema ritardo.
- Operazione di convoluzione: definizione e esempio applicativo.
- Proprietà della convoluzione: commutativa; associativa; distributiva rispetto alla somma. Elemento neutro della convoluzione.
- Proprietà di un sistema digitale: tempo invarianza e linearità.
- Sistemi lineari e tempo invarianti (LTI).
- Uscita di un sistema LTI come prodotto di convoluzione tra segnale di ingresso e risposta all'impulso.
- Uscita di un sistema LTI quando l'ingresso è una sinusoide complessa. Risposta in frequenza di un sistema LTI.
- Filtri FIR come sottoinsieme dei filtri LTI. Risposta all'impulso e risposta in frequenza: legame tra le due rappresentazioni di un sistema LTI nel caso di filtri FIR.
- Proprietà della risposta in frequenza: periodicità e simmetria coniugata.
- Risposta in frequenza di un amplificatore ideale.
- Composizione di sistemi (cascata o serie; parallelo).

PARTE SECONDA
· Trasformata di Fourier a Tempo Discreto (DTFT)
- Definizione. Proprietà della DTFT: periodicità e simmetria coniugata; linearità; unicità; ritardo temporale; ritardo in frequenza; convoluzione.
- Esempi di DTFT: 1) impulso discreto; 2) esponenziale causale.
- Trasformata di Fourier a Tempo Discreto Inversa (ITDFT): definizione.
- Esempio IDTFT: filtro passabasso ideale.
- Condizioni di esistenza della DTFT.
- Modulazione d'ampiezza (approfondimenti).
· Studio dei sistemi nel domino delle frequenze
- Risposta in frequenza di un sistema come DTFT della risposta all'impulso. Uscita di un sistema LTI come prodotto della risposta in frequenza e della DTFT del segnale in ingresso.
- Uscita di un sistema LTI come composizione lineare degli effetti del sistema sulle singole (infinite) sinusoidi in cui la DTFT decompone il segnale di ingresso.
- Filtri ideali: definizione e modulo della loro DTFT.
- Operazione di correlazione e legame con la convoluzione.
- DTFT della correlazione di due segnali a tempo-discreto.
- Energia del segnale e teorema (o legge di conservazione) di Parseval.
· Trasformata Discreta di Fourier e sue applicazioni
- DTFT di un segnale composto da un numero finito di campioni.
- Introduzione alla Trasformata Discreta di Fourier (DFT).
- Modulo e fase della DFT. Numero di campioni in frequenza e risoluzione spettrale.
- DFT come operatore lineare (matriciale).
- DFT inversa (IDFT): definizione.
- Periodicità della DFT e della IDFT: implicita periodicizzazione della sequenza x[n].
- Operazione di zero-padding (bordatura con zeri) di un segnale tempo-discreto.
- Implicazioni della periodicizzazione implicita imposta a x[n] dalla DFT: ritardo e traslazione circolare/periodica; convoluzione circolare e DFT. Zero padding come possibile rimedio allorquando si usa la IDFT per calcolare la convoluzione di due sequenze limitate nel tempo (evitando gli effetti della convoluzione circolare).
- Algoritmo Fast Fourier Transform (FFT): introduzione e idea fondamentale alla base dell'algoritmo di calcolo. Stima del numero di moltiplicazioni necessarie per la DFT secondo definizione o utilizzando l'algoritmo FFT.
- Estensione del teorema di Parseval ai coefficienti della DFT.
· Filtri IIR (Infinite Impulse Response)
- Sistemi LTI descritti da equazione alle differenze contenente anche una parte autoregressiva.
- Soluzione iterativa di equazione alle differenze del primo ordine.
- Sistemi IIR: i) calcolo della risposta in frequenza come DTFT della risposta all'impulso; ii) calcolo della risposta in frequenza tramite il calcolo della DTFT dell'equazione alle differenze; iii) risposta in frequenza di un filtro LTI a partire dall'equazione alle differenze completa.
· Trasformata zeta e sue applicazioni ai sistemi LTI
- Definizione. Proprietà: i) ritardo; ii) convoluzione.
- Funzione di trasferimento come trasformata zeta della risposta all'impulso di un sistema.
- Funzione di trasferimento della cascata (o serie) di due sistemi LTI.
- Esempio di trasformata zeta: esponenziale causale.
- Regione di convergenza (ROC) della trasformata zeta.
- Scalino anticausale e sua ROC.
- Zeri e poli di una trasformata zeta.
- Diagramma poli-zeri.
- Funzione di trasferimento di un generico sistema LTI. Numero di poli e zeri e ordine del filtro.
- Effetto della presenza di un polo (o di uno zero) sul modulo della trasformata zeta.
- Risposta in frequenza ottenuta dalla valutazione della trasformata zeta sul cerchio di raggio unitario (se incluso nella ROC).
- Stime empiriche dell'andamento del modulo della risposta in frequenza a partire dal diagramma poli-zeri.
- Casi particolare: 1) Poli e zeri di un filtro FIR; 2) Sistemi IIR "all poles" con zeri solo in 0; 3) Sistemi FIR a cui vengono aggiunti poli e zeri coincidenti e loro formulazione IIR apparente.
- Scomposizione di un sistema IIR in più sistemi applicati in cascata.
- Definizione di sistema inverso. Deconvoluzione (cenni).
- Trasformata zeta inversa tramite espansione in fratti semplici. Metodo dei residui (solo per poli singoli).
- Definizione di stabilità Bounded Input Bounded Output (BIBO) di un sistema.
- Assoluta sommabilità dei coefficienti della risposta all'impulso come condizione sufficiente e necessaria per la stabilità di un sistema LTI. Derivazione della parte sufficiente della condizione.
- Sistemi BIBO stabili e conseguenze derivanti dalla condizione di assoluta sommabilità della risposta all'impulso: appartenenza alla ROC della funzione di trasferimento del cerchio di raggio unitario.
- Condizioni di stabilità per sistemi causali e anticausali in termini della posizione dei loro poli.
- Cenni sull'instabilità dei filtri IIR indotta dall'approssimazione dei coefficienti del filtro, durante l'implementazione pratica.
· Progettazione di filtri digitali
- Progettazione di filtri IIR tramite collocamento diretto di poli e zeri. Esempio: progettazione di un filtro notch per la rimozione della interferenza di rete.
- Filtri IIR classici: filtro di Butterworth.
- Progettazione di filtri reali e loro specifiche.
- Introduzione alla progettazione di filtri FIR tramite il metodo delle finestre.