Elementi di analisi funzionale
A.A. 2020/2021
Obiettivi formativi
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell'ambito (infinito-dimensionale) dell'analisi funzionale lineare ed è da intendersi come propedeutico ad eventuali insegnamenti successivi.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenza delle tecniche basilari dell'Analisi Funzionale e loro impiego nella soluzione di semplici problemi teorici e/o di Matematica applicata.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Tutte le informazioni sul corso e il relativo materiale (dispensa, registrazioni delle lezioni, homework, ...) verranno pubblicate sulla piattaforma Ariel.
Le lezioni verranno erogate online in modo sincrono tramite la piattaforma Zoom meetings. Esse verranno anche registrate, ma è fortemente consigliato seguirle in diretta.
Gli homework verranno assegnati su Ariel, lo svolgimento dovrà essere inviato via email al docente.
L'esame (colloquio) verrà svolto su Zoom o in presenza, su appuntamento.
Le lezioni verranno erogate online in modo sincrono tramite la piattaforma Zoom meetings. Esse verranno anche registrate, ma è fortemente consigliato seguirle in diretta.
Gli homework verranno assegnati su Ariel, lo svolgimento dovrà essere inviato via email al docente.
L'esame (colloquio) verrà svolto su Zoom o in presenza, su appuntamento.
Programma
Spazi normati e di Banach, cenni al completamento. Norme equivalenti. Operatori lineari continui, lo spazio degli operatori. Lo spazio duale. Teoremi di Hahn-Banach. Compattezza forte.
Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Cenni agli spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.
Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.
Cenni alla teoria spettrale. Spettro degli operatori compatti. Spettro degli operatori compatti autoaggiunti in spazi di Hilbert.
Esempi di spazi di Banach (di funzioni o successioni) e loro duali. Cenni agli spazi vettoriali topologici. Topologie deboli, riflessività, compattezza debole e debole-star. Cenni alla metrizzabilità delle topologie deboli.
Teorema di Baire e le sue applicazioni: Principio dell'uniforme limitatezza, Teorema della mappa aperta e Teorema del grafico chiuso. Operatore aggiunto. Operatori compatti. Operatori integrali di Fredholm e di Volterra.
Cenni alla teoria spettrale. Spettro degli operatori compatti. Spettro degli operatori compatti autoaggiunti in spazi di Hilbert.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1, 2, 3 e 4. Elementi di base di Topologia Generale. Elementi base di Algebra Lineare. Elementi di base di Analisi Reale (spazi L_p, spazi di Hilbert).
Metodi didattici
L'insegnamento verrà condotto attraverso lezioni frontali svolte alla lavagna, oppure online in modalità sincrona, a seconda delle disposizioni degli organi dell'Ateneo.
Materiale di riferimento
Verrà fornita una dispensa del corso (in inglese) a cura del docente. Gli eventuali ulteriori riferimenti verranno indicati durante il corso.
Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
- M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
- R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
- W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
- W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
Si segnalano in ogni caso per la consultazione:
- M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler: Banach Space Theory, CMS Books in Mathematics, Springer.
- R. Megginson: An introduction to Banach space theory, Springer.
- W. Rudin: Real and complex analysis, McGraw-Hill.
- W. Rudin: Functional Analysis, McGraw-Hill.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Nel corso del semestre, verrà assegnato come compito a casa lo svolgimento di alcuni esercizi. L'esame finale consiste in un colloquio orale. Verrà richiesto di illustrare e discutere alcuni risultati facenti parte del programma dell'insegnamento o ad esso direttamente collegabili, nonché di risolvere qualche problema nell'ambito del programma stesso, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli connettere e applicare correttamente.
La durata media della prova orale è di 45-60 minuti.
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
La durata media della prova orale è di 45-60 minuti.
Il voto proposto, espresso in trentesimi, verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Docente/i
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)