Probabilità avanzata

A.A. 2020/2021
9
Crediti massimi
78
Ore totali
SSD
MAT/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
La teoria della probabilità è oggi applicata in una grande varietà di campi tra cui fisica, ingegneria, informatica, biologia, economia e scienze sociali. Questo corso è un'introduzione rigorosa alla teoria del calcolo delle probabilità che ha le martingale di Doob e l'introduzione ai processi stocastici come tema di prospettiva. Dopo una breve panoramica sui fondamenti della teoria di base, si approfondisce l'importante concetto di valore atteso condizionato. Si introducono quindi nel dettaglio i processi stocastici con particolare riferimento alle proprietà di misurabilità e la costruzione dello spazio dei cammini. Si studia a fondo in particolare la teoria di due classi di processi: le martingale sia a tempo discreto che a tempo continuo ed i processi di Markov, sia attraverso le sue caratterizzazioni, sia considerando le catene di Markov a tempo discreto.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente impara a trattare e discutere le principali proprietà di rilevanti oggetti probabilistici. Conosce le proprietà importanti dei processi stocastici. Analizza classi fondamentali di processi e si impadronisce di tecniche avanzate dell' analisi stocastica.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Nella fase emergenziale le lezioni saranno tenute in modo sincrono attraverso le piattaforme MSTeams e/o Zoom, salvo problemi tecnici o espressa richiesta di lezioni asincrone.
In ogni caso sarà fornita una videoregistrazione della lezione (o della lezione sincrona, oppure attraverso una videoregistrazione asincrona).
In casi di lezioni asincrone durante le ore da calendario il docente sarà disponibile in chat o in videoconferenza per rispondere ad eventuali domande degli studenti.

Saranno proposti possibili incontri in presenza.

Gli esami saranno solo orali ed erogati attraverso le piattaforme MSTeams e Zoom.
Programma
1. Introduzione alla probabilità
2. Variabili aleatorie e loro integrabilità
3. Funzioni caratteristiche e proprietà
4. Convergenza di variabili aleatorie e convergenza debole di misure di probabilità
5. Valore Atteso condizionato: esistenza e proprietà

6. Processi Stocastici
6.1. Misurabilità e continuità. Stocastica continuità. Teorema di continuità di Kolmogorov
6.2. Costruzione dello spazio dei cammini e Teorema di Kolmogorv Bochner
6.3. Processi gaussiani
6.4. Processi di Markov : caratterizzazioni
6.5 Processi di Levy. Processi di Poisson e di Wiener

7. Martingale
7.1. Martingale a tempo discreto e loro trasformate
7.2. Risultati di convergenza e teoremi di arresto opzionale di Doob
7.3. Martingale UI
7.4. Martingale in L^p
7.3. Martingale a tempo continuo
7.4. Teoria della variazione quadratica

8. Catene di Markov
8.1. Struttura in classi: ricorrenza e transienza
8.2. Passeggiata aleatoria
8.5. Distribuzioni invarianti e comportamento asintotico
Prerequisiti
Nozioni di un corso base di Calcolo delle Probabilità (costruzione di uno spazio di probabilità, variabili e vettori aleatori, misure di probabilità indotte, principali tipi di convergenze,...)
Metodi didattici
Le lezioni saranno frontali alla lavagna.
Materiale di riferimento
- D. Williams, Probability with Martingales
- J. Jacod, P. Protter, Probability Essentials
- Billingsley , Probability and Measure, 1986
- V.Capasso-D.Bakstein, An Introduction to Continuous-Time Stochastic Processes: Theory, Models, and Applications to Finance, Biology, and Medicine, Birkhauser, 2015;
- Heinz Bauer, Probability Theory,1996
- P. Baldi, Stochastic Calculus: An Introduction Through Theory and Exercises, 2017
- AppleBaum, Levy Processes and Stochastic Calculus, 2004
- Norris, Markov Chains, 1999
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consta di due parti:
- una parte scritta che consiste nella risoluzione uno o due esercizi, prevalentemente su catene di Markov e martingale, e nella dimostrazione di un risultato teorico
- una prova orale in cui si valuta la conoscenza dei risultati teorici presentati durante il corso, delle loro relative dimostrazioni, nonché la capacità dello studente di applicare e collegare tra loro vari risultati

La valutazione finale, pur tenendo conto di entrambe le prove, è sostanzialmente basata sulla prova orale.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 42 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Martedì 10-12 ma su appuntamento via email; altri giorni su appuntamento via email
Via Saldini 50, secondo piano
Ricevimento:
Martedì 14:00-16:00 (o su appuntamento tramite mail)
Studio del docente