Superfici algebriche
A.A. 2020/2021
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire agli studenti le nozioni di morfismi birazionali e modelli minimali di superfici, con le quali ottenere la classificazione delle superfici algebriche per poi studiarne le proprieta' geometriche
Risultati apprendimento attesi
Lo studente imparera' i primi risultati di geometria birazionale, in particolare riguardanti il problema della classificazione birazionale delle varieta'. Si acquisiranno inoltre tecniche per la costruzione e lo studio delle varieta' proiettive.
Periodo: Secondo semestre (se vi sono più edizioni controllare anche il periodo dell'edizione, che può essere diverso)
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
Materiale di base : Varietà complesse. Sottovarietà, divisori e fibrati lineari olomorfi. Fibrato canonico. Varietà proiettive. Sistemi lineari. Fibrati ampi e loro proprietà.
Primi elementi della teoria delle superfici algebriche proiettive: Curve su una superficie. Teoria dell'intersezione su una superficie algebrica. Gruppo di Neron-Severi ed equivalenza numerica. Teorema di Riemann-Roch, formula di Noether. Formula del genere.
I coni delle curve su una superficie: il teorema dell'indice di Hodge, cono ampio e cono nef.
Applicazioni birazionali e modelli minimali: Applicazioni razionali e sistemi lineari. Applicazioni birazionali. Scoppiamenti e loro proprietà. Invarianti birazionali. Modelli minimali. Dimensione di Kodaira e classificazione mediante gli invarianti birazionali
Esempi: superfici con dimensione di Kodaira negativa: scoppiamenti di P^2 e superfici di del Pezzo. Superfici di Kodaira uguale a zero: intersezioni complete, rivestimento doppio di P^2, superfici ellittiche, superfici Abeliane. Superfici con dimensione di Kodaira uguale a 1: rivestimenti di superfici ellittiche razionali. Superfici di tipo generale: intersezioni complete, rivestimenti doppi di P^2 e la superficie di Godeaux
Superfici con dimensione di Kodaira uguale 1 e fibrazioni ellittiche.
Primi elementi della teoria delle superfici algebriche proiettive: Curve su una superficie. Teoria dell'intersezione su una superficie algebrica. Gruppo di Neron-Severi ed equivalenza numerica. Teorema di Riemann-Roch, formula di Noether. Formula del genere.
I coni delle curve su una superficie: il teorema dell'indice di Hodge, cono ampio e cono nef.
Applicazioni birazionali e modelli minimali: Applicazioni razionali e sistemi lineari. Applicazioni birazionali. Scoppiamenti e loro proprietà. Invarianti birazionali. Modelli minimali. Dimensione di Kodaira e classificazione mediante gli invarianti birazionali
Esempi: superfici con dimensione di Kodaira negativa: scoppiamenti di P^2 e superfici di del Pezzo. Superfici di Kodaira uguale a zero: intersezioni complete, rivestimento doppio di P^2, superfici ellittiche, superfici Abeliane. Superfici con dimensione di Kodaira uguale a 1: rivestimenti di superfici ellittiche razionali. Superfici di tipo generale: intersezioni complete, rivestimenti doppi di P^2 e la superficie di Godeaux
Superfici con dimensione di Kodaira uguale 1 e fibrazioni ellittiche.
Prerequisiti
Sono necessarie competenze di base di geometria e topologia. Sono fortemente consigliate la conoscenza delle varieta' differenziabili, delle varieta' complesse e dei fibrati lineari.
Metodi didattici
Lezione frontale classica.
Materiale di riferimento
Pagina Ariel del corso.
I testi maggiormante presi in considerazione saranno
- W. Barth, K. Hulek, C, Peters, A, van de Ven Compact complex surfaces. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 4. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces, Second Edition, Cambridge Univ. Press, 1996.
- M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces, in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
I testi maggiormante presi in considerazione saranno
- W. Barth, K. Hulek, C, Peters, A, van de Ven Compact complex surfaces. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 4. Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- A. Beauville, Complex Algebraic Surfaces, Second Edition, Cambridge Univ. Press, 1996.
- M. Reid, Chapters on Algebraic Surfaces, in J. Kollár (ed.), Complex Algebraic Geometry, IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Amer. Math. Soc., Providence R.I., 1997.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale.
Durante la prova orale gli Studenti dovranno presenteranno un argomento complementare a quelli del corso a scelta dello studente fra un elenco proposto. Nel caso un studente abbia uno interesse per uno specifico argomento correlato al corso ma che non rientra fra quelli proposti, puo' comunque proporlo al docente, che valutera' l'attinenza al corso. Durante l'orale lo studente dovra' inoltre esporre alcuni risultati del programma dell'insegnamento e rispondere a domande specifiche poste dal docente sul programma del corso.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Durante la prova orale gli Studenti dovranno presenteranno un argomento complementare a quelli del corso a scelta dello studente fra un elenco proposto. Nel caso un studente abbia uno interesse per uno specifico argomento correlato al corso ma che non rientra fra quelli proposti, puo' comunque proporlo al docente, che valutera' l'attinenza al corso. Durante l'orale lo studente dovra' inoltre esporre alcuni risultati del programma dell'insegnamento e rispondere a domande specifiche poste dal docente sul programma del corso.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Docente/i