Teoria dei gruppi
A.A. 2020/2021
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è presentare argomenti e teoremi basilari inerenti la Teoria dei gruppi.
Risultati apprendimento attesi
Capacità di leggere e comprendere argomenti di Teoria dei gruppi avanzati
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Periodo
Primo semestre
Lezioni ed esercitazioni si svolgeranno tramite l'applicazione Zoom, e potranno essere seguite sia in sincrono sulla base dell'orario del primo semestre sia in asincrono perché saranno registrate e lasciate a disposizione degli studenti sulla piattaforma ARIEL.
Il programma e il materiale di riferimento non subiranno variazioni.
L'esame si svolgerà tramite l'applicazione Zoom finché le disposizioni vigenti non permetteranno di riprendere la modalità in presenza; non ci sono variazioni di sostanza sulle modalità di esame, solo questioni logistiche che saranno comunicate a tempo debito tramite la piattaforma ARIEL.
Il programma e il materiale di riferimento non subiranno variazioni.
L'esame si svolgerà tramite l'applicazione Zoom finché le disposizioni vigenti non permetteranno di riprendere la modalità in presenza; non ci sono variazioni di sostanza sulle modalità di esame, solo questioni logistiche che saranno comunicate a tempo debito tramite la piattaforma ARIEL.
Programma
[Programma]:
1. Richiami sui prodotti di sottogruppi di un gruppo: prodotti diretti e semidiretti. Teoremi di isomorfismo. Il programma di Hőlder. Sottogruppo derivato
2. Azioni di un gruppo su un insieme. Orbite,stabilizzatori. Teoremi di Sylow e applicazioni. Formula di Burnside e caratteri di permutazione. Azioni indotte
Semplicità di alcuni gruppi
3. Generatori e relazioni. Generatori, sottogruppo di Frattini (teorema di Schur)
Gruppi abeliani finitamente generati. Gruppi liberi, relazioni,sottogruppi di gruppi liberi. Il problema della parola.
4. Gruppi nilpotenti e risolubili. Serie centrali e gruppi nilpotenti, sottogruppo di Fitting. Gruppi p-nilpotenti, normalizzanti di p-sottogruppi e coniugio. Automorfismi privi di punti fissi e gruppi di Frobenius. Gruppi risolubili; sottogruppi di Carter, Teorema di Schmidt-Iwasawa
1. Richiami sui prodotti di sottogruppi di un gruppo: prodotti diretti e semidiretti. Teoremi di isomorfismo. Il programma di Hőlder. Sottogruppo derivato
2. Azioni di un gruppo su un insieme. Orbite,stabilizzatori. Teoremi di Sylow e applicazioni. Formula di Burnside e caratteri di permutazione. Azioni indotte
Semplicità di alcuni gruppi
3. Generatori e relazioni. Generatori, sottogruppo di Frattini (teorema di Schur)
Gruppi abeliani finitamente generati. Gruppi liberi, relazioni,sottogruppi di gruppi liberi. Il problema della parola.
4. Gruppi nilpotenti e risolubili. Serie centrali e gruppi nilpotenti, sottogruppo di Fitting. Gruppi p-nilpotenti, normalizzanti di p-sottogruppi e coniugio. Automorfismi privi di punti fissi e gruppi di Frobenius. Gruppi risolubili; sottogruppi di Carter, Teorema di Schmidt-Iwasawa
Prerequisiti
Fondamenti di Teoria dei Gruppi appresi in Algebra 2
Metodi didattici
Lezioni frontali
Materiale di riferimento
A.Machì "Gruppi" Springer (2007)
-I.M.Isaacs " Algebra : a graduate course"Brooks/Cole Publishing Company(1993/4)
-B.A.F Wehrfritz "Finite groups" Word Scientific 1999
-D.J.Robinson " A course in the Theory of Groups" Springer-Verlag (1982)
-I.M.Isaacs " Algebra : a graduate course"Brooks/Cole Publishing Company(1993/4)
-B.A.F Wehrfritz "Finite groups" Word Scientific 1999
-D.J.Robinson " A course in the Theory of Groups" Springer-Verlag (1982)
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si compone di un'unica prova, orale, tesa a verificare le conoscenze teoriche acquisite nel corso e la capacità acquisita di svolgere esercizi di tipologia simile a quelli proposti durante il corso. Tale prova può essere sostituita solo per gli studenti frequentanti da un seminario concordato con il docente da farsi esclusivamente a fine corso.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente:
Bianchi Mariagrazia