Topologia algebrica

A.A. 2020/2021
9
Crediti massimi
73
Ore totali
SSD
MAT/03
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Scopo dell'insegnamento è illustrare i risultati principali e fornire alcune delle tecniche proprie della topologia algebrica e in parte della topologia differenziale.
Risultati apprendimento attesi
Saper utilizzare alcune tecniche proprie della topologia algebrica sugli spazi topologici e in particolare sulle varietà e della topologia differenziale sulle varietà differenziabili.
Programma e organizzazione didattica

Single session

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Il corso sarà tenuto online con lezioni videoregistrate (in modalità sincrona o asincrona) e caricate sul sito Ariel del corso. Verranno organizzati incontri di ricevimento studenti su piattaforma Zoom o Teams. Tutte le informazioni ulteriori saranno pubblicate su Ariel.
L'esame si svolgerà su piattaforma Zoom o Teams.
Prerequisiti
Contenuti dei corsi di Geometria 1,2,3,4,e 5
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, ed alcuni esempi, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare. Potra' anche essere richiesto lo svolgimento di qualche esercizio
atto a verificare la capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso.
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Topologia Algebrica (prima parte)
Programma
Topologia algebrica (prima parte)
Richiami di algebra omologica, complessi e caratteristica di Eulero di un complesso.
Omologia singolare, significato geometrico di H0 e H1. Caratteristica di Eulero.
Omologia della coppia di spazi topologici. Successione esatta di omologia relativa.
Omomorfismo di connessione. Successione esatta di Mayer Vietoris.
Esempi di calcolo di gruppi di omologia. Applicazioni dell'omologia della sfere. Omologia locale. Teorema di invarianza della dimensione e del bordo. Generalizzazione del teorema della curva di Jordan.
Grado topologico per applicazioni tra sfere e sua interpretazione locale.
Richiami sui CW-complessi di tipo finito. Omologia cellulare ed esempi di calcolo. Teorema di paragone.
Prodotto Cup. Anello di coomologia. Esempi. Il teorema dei coefficienti universali.
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni e esercitazioni
Materiale di riferimento
- M. J. Greenberg, J. R. Harper, Algebraic Topology. A First Course, The Benjamin/Cummings Publishing Company, 1981.
- A. Hatcher, Algebraic Topology, online version.
Topologia Algebrica mod/01
Programma
Topologia differenziale.
Funzioni di Morse. Il lemma di Morse. Il I e II teorema di Morse. Il teorema di Reeb. Varietà differenziabili compatte e CW complessi finiti. Disuguaglianza e uguaglianza di Morse. Applicazioni ed esempi.
Teoria dell'intersezione per varietà (con cenni alle proprietà di stabilità e genericità), e per varietà orientate. Numeri di intersezione per varietà orientate e invarianza per omotopia. Grado di Brower per applicazioni lisce e sue proprietà. Autointersezione e caratteristica di Eulero Poincaré di una varietà differenziabile orientabile. Indice di uno zero isolato di un campo vettoriale. Teorema di Poincaré Hopf.
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni e esercitazioni
Materiale di riferimento
- J. Milnor, Morse Theory, Annals Study 51. Princeton Univ. Press, Princetone, 1963.
- V. Guillemin, A. Pollack - Differential Topology. AMS Chelsea Publ. 2010.
Moduli o unità didattiche
Topologia Algebrica (prima parte)
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 28 ore

Topologia Algebrica mod/01
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 3
Lezioni: 21 ore

Docente/i
Ricevimento:
Per appuntamento (scrivere e-mail al docente)
studio Turrini - Dip. di Matematica - v. Saldini, 50