Varietà complesse (prima parte)
A.A. 2020/2021
Obiettivi formativi
Apprendere alcuni strumenti e metodi di base nella teoria delle varieta complesse.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti apprenderanno alcuni strumenti e risultati di base nella teoria delle varietà complesse, incluso fibrati vettoriali, fasci e loro coomologia. Sarà data particolare attenzione alle tori di dimensione 1 e la formula di aggiunzione.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Verranno rese disponibili videolezioni asincrone organizzate per coprire gli argomenti di ogni lezione dell'insegnamento. Le lezioni registrate verranno rese disponibili agli studenti sulla piattaforma ARIEL dell'insegnamento per tutto il semestre e caricate sul sito poco prima dell'orario dell'insegnamento. Inoltre, periodicamente verranno organizzati degli incontri sincroni con gli studenti, utilizzando Skype oppure Zoom oppure Teams al fine di fornire chiarimenti ed approfondimenti sugli argomenti dell'insegnamento e rispondere alle domande degli studenti.
Programma
Programma con riferimenti bibliografici:
Varietà differenziabili complesse: spazio tangente olomorfe; applicazioni olomorfe e loro differenziale; forme differenziali di tipo (p,q) ([Hu], [Hö], [W]).
Fibrati vettoriali, il fibrato tangente, il fibrato canonico, il fibrato normale, divisori e fibrati in rette, formula di aggiunzione [Hu], [Hö].
Fasci e prefasci di gruppi abeliani, omomorfismi di fasci, successioni esatte di fasci, coomologia a coefficienti in un fascio di gruppi abeliani come coomologia del complesso delle sezioni globali di una risoluzione aciclica del fascio, teorema di de Rham [W].
Curve ellittiche: La funzione meromorfe "p" di Weierstrass, curve cubiche piane, legge di gruppo [S].
Varietà differenziabili complesse: spazio tangente olomorfe; applicazioni olomorfe e loro differenziale; forme differenziali di tipo (p,q) ([Hu], [Hö], [W]).
Fibrati vettoriali, il fibrato tangente, il fibrato canonico, il fibrato normale, divisori e fibrati in rette, formula di aggiunzione [Hu], [Hö].
Fasci e prefasci di gruppi abeliani, omomorfismi di fasci, successioni esatte di fasci, coomologia a coefficienti in un fascio di gruppi abeliani come coomologia del complesso delle sezioni globali di una risoluzione aciclica del fascio, teorema di de Rham [W].
Curve ellittiche: La funzione meromorfe "p" di Weierstrass, curve cubiche piane, legge di gruppo [S].
Prerequisiti
Concetti di base di varietà differenziabili (reali) del corso "Geometria 4" e di analisi complessa.
Metodi didattici
Probabilmente lezioni a distanza, possibilmente sincrone, vedi indicazione sul sito del corso http://www.mat.unimi.it/users/geemen/VarietaComplesse20I.html e sul sito Ariel.
Materiale di riferimento
[A] D. Arapura, Algebraic geometry over the complex numbers. Springer-Verlag 2012.
[Hu] D. Huybrechts, Complex geometry, an introduction. Berlin Springer-Verlag 2005.
[Hö] A. Höring, Kähler geometry and Hodge theory.
[K] A.W. Knapp, Elliptic curves, Mathematical notes 40. Princeton University Press 1993.
[S] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag 1986.
[W] R.O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds. Prentice Hall 1973 (Springer-Verlag 2008).
Pagina web: http://www.mat.unimi.it/users/geemen/VarietaComplesse20I.html
[Hu] D. Huybrechts, Complex geometry, an introduction. Berlin Springer-Verlag 2005.
[Hö] A. Höring, Kähler geometry and Hodge theory.
[K] A.W. Knapp, Elliptic curves, Mathematical notes 40. Princeton University Press 1993.
[S] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag 1986.
[W] R.O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds. Prentice Hall 1973 (Springer-Verlag 2008).
Pagina web: http://www.mat.unimi.it/users/geemen/VarietaComplesse20I.html
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale su appuntamento. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema legato alla materia, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Docente/i
Ricevimento:
su appuntamento per email ([email protected])