Analisi matematica 4

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
60
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Completare l'insegnamento delle tecniche basilari del calcolo integrale in più variabili. Fornire le nozioni basilari di teoria della misura, con applicazione specifica alla misura di Lebesgue in Rn.
Risultati apprendimento attesi
Conoscenze dei concetti e dei risultati dell'insegnamento e loro applicazione ad esercizi che richiedono anche capacità computazionali.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Le lezioni ed esercitazioni si svolgeranno in presenza. Se, a causa dell'emergenza sanitaria, dovesse rendersi necessario erogare le lezioni ed esercitazioni da remoto (in parte o completamente), esse saranno sincrone sulla piattaforma Zoom.
Programma
--Misura ed integrale di Lebesgue: misura di Lebesgue, funzioni misurabili, l'integrale di Lebesgue. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e integrazione per serie. Confronto fra gli integrali di Lebesgue e Riemann. Riduzione: i teoremi di Fubini e Tonelli. Cambiamento di variabili. Integrali dipendenti da parametro.
-- Misure astratte ed integrazione: misure astratte, misure esterne e misure esterne metriche, funzioni misurabili, integrazione rispetto a ad una misura (positiva).
-- Misura di Hausdorff ed integrazione: misura esterna e misura di Hausdorff, confronto fra le misure esterne di Lebesgue e Hausdorff n-dimensionale. Misura di Hausdorff e mappe lipschitziane. Calcolo integrale della misura di Hausdorff, integrazione su insiemi parametrizzabili e varietà rispetto alle misure di Hausdorff.
-- I teoremi fondamentale del calcolo integrale in più variabili: aperti regolari ed l teorema fondamentale, integrazione per parti ed il teorema della divergenza. Generalizzazioni ed applicazioni
Prerequisiti
Analisi Matematica 1, 2, e 3.
Metodi didattici
Lezioni tradizionali alla lavagna. Frequenza altamente consigliata.
Materiale di riferimento
K.R. Payne - Misura ed Integrazione (disponibile in rete sulla pagina del corso)
E. Lanconelli - Lezioni di Analisi Matematica 2, Prima Parte (2° edizione) 2000, e Seconda Parte 1997, Pitagora Editrice, Bologna
E. Giusti - Analisi Matematica 2, 3° edizione, Bollati Boringhieri, Torino 2003
G. Molteni e M. Vignati - Analisi Matematica 3, Città Studi Edizioni, Milano 2006
E. Giusti - Esercizi e Complimenti di Analisi Matematica, 2° Volume, Bollati Boringhieri, Torino 1992
C. Maderna, G. Molteni e M. Vignati - Esercizi Scelti di Analisi Matematica 2 e 3, Città Studi Edizioni, Milano 2006
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta ed una prova orale.
- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di teoria della misura, passaggi al limite sotto il segno di integrale, e integrazioni in più variabili. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste 2 prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche esercizio al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 36 ore
Docente: Payne Kevin Ray
Docente/i
Ricevimento:
LUN e MER 15.30-16.30 e per appuntamento
Studio 2051 nel "sottotetto" del Dip. Matematica - v. Saldini 50