Argomenti avanzati di finanza matematica

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
SECS-S/06
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento mira ad approfondire alcuni temi della finanza matematica: l'analisi della teoria delle misure di rischio e per la gestione e controllo del rischio finanziario, la valutazione di opzioni in mercati incompleti sulla base del criterio della massimizzazione dell'utilità attesa.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente conoscerà e sarà capace di utilizzare i principali metodi di analisi convessa e di ottimizzazione, e sarà in grado di affrontare problemi inerenti la valutazione e la gestione del rischio finanziario.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22, verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria
Programma
I Richiami del corso di Finanza Matematica 1
Il principio di non arbitraggio. La valutazione delle opzioni. Completezza e incompletezza del mercato. I teoremi fondamentali di valutazione. Il prezzo di super-replicazione.

II Cenni di Analisi convessa
Spazi duali e topologie deboli. Cono polare e bipolare, teorema bipolare. Funzioni convesse, funzioni coniugate. Teorema di Fenchel-Moreau. Lo spazio ba, duale topologico di L^infty, Il teorema di Yosida-Hewitt. Il teorema di Penot-Volle sulle funzioni quasi-convesse e lsc. Il teorema di Namioka-Klee e la sua estensione a mappe convesse e monotone.

III Misure di Rischio
Misure di Rischio (MdR) monetarie, MdR coerenti e convesse. Proprietà e interpretazione finanziaria. Implicazioni fra le diverse proprietà delle MdR. Proprietà "cash additive": condizione necessaria e sufficiente per la rappresentazione delle MdR attraverso gli insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ. Lipschitz continuità.
MdR quasi-convesse e cash-subadditive. Proprietà e rappresentazione attraverso la famiglia A=(A_m) d'insiemi di accettazione. Proprietà di ρ_A e A_ρ.
Esempi: [email protected], Worst RM, MdR entropica, certo equivalente.
Rappresentazione duale delle MdR quasi-convesse e monotone utilizzando il teorema di Penot-Volle. Rappresentazione duale delle MdR coerenti e convesse utilizzando il teorema di Fenchel-Moreau.
Equivalenti condizioni di continuità per ρ monotone e quasi-convesse definite su L^infty. Continuità dall'alto e dal basso. La proprietà di Lebesgue e la rappresentazione con il max. Formula alternativa per la funzione di penalità. Analisi della MdR "worst" e della MdR entropica. Formulazione variazionale della MdR entropica.
Rappresentazione delle MdR coerenti attraverso il teorema di dualità per il prezzo di super replicazione.
MdR condizionali e dinamiche. Proprietà di regolarità. Rappresentazione duale delle MdR condizionali (Scandolo-Detlefsen). Consistenza temporale. Spazi e cuore di Orlicz: definizioni e proprietà. Misure di rischio definite su spazi di Orlicz e loro rappresentazione duale.

IV Sul mercato finanziario
Modello di mercato finanziario generale. Il cono K dei claims replicabili e il cono C dei claims super replicabili e limitati. Misure "separanti" M (misure di martingala) e loro caratterizzazione. Le condizioni di NA, NFL, NFLVR.

Una selezione fra i seguenti argomenti:

A) Massimizzazione dell'utilità attesa in mercati incompleti
Le diverse ipotesi sulla funzione d'utilità u e conseguenze sulla sua funzione coniugata. Esempi.
Funzioni coniugate concave.
Il problema duale del problema di massimizzazione dell'utilità attesa.
Il problema di massimizzazione dell'utilità attesa con vincolo di bilancio determinato da una sola probabilità Q, su L^infty e su L^1. Misure a entropia finita. Esempi di calcolo di (U_Q)(x) e uguaglianza fra (U_Q)(x), (U^Q)(x) e I(x,Q).
Sul funzionale U dell'utilità ottimale.
La misura Minimax. Il funzionale coniugato del funzionale integrale. Cenni ai teoremi di Rockafellar e di dualità di Fenchel. Il teorema minimax.
Condizioni equivalenti a U(x)Rappresentazione duale del problema di massimizzazione dell'utilità in mercati incompleti. Esempi: minimal variance, minimal entropy, minimal infty norm.
Relazione di dualità con contingent claims. La rappresentazione duale dell'entropia relativa. Interpretazione finanziaria dell'entropia relativa.
Valutazioni delle opzioni attraverso le misure minimax. Il "Fair price" di Davis.
Il certo equivalente dinamico e proprietà.
Il prezzo d'indifferenza (seller e buyer) e relazione con le misure di rischio. Proprietà del prezzo d'indifferenza e sua rappresentazione duale.

B) Misure di rischio sistemico
Definizioni di misure di rischio sistemico e funzione di aggregazione, rappresentazione duale e soluzione duale ottimale, misure di probabilità eque, equità dell'allocazione (aleatoria) e allocazioni del rischio eque, l'allocazione ottimale, interpretazione sulla base della massima utilità attesa.

C) Robustezza in finanza matematica e teoria del Trasporto Ottimo (TO).
Condizioni di non arbitraggio e dualità di super-hedging nel contesto robusto e pathwise. Cenni alla teoria del Trasporto Ottimo con vincolo di martingala, applicazioni alla dualità di super-hedging pathwise. Generalizzazione del TO di martingala con penalizzazioni nella forma di divergenze.
Prerequisiti
Finanza Matematica 1, Calcolo delle Probabilità
Metodi didattici
Lezioni alla lavagna (o nelle modalità indicate nel paragrafo fase emergenziale).
Materiale di riferimento
Dispense del docente.
H. Follmer, A. Schied: "Stochastic Finance", 3rd Edition, de Gruyter, 2010.
C. Aliprantis, K. Border: "Infinite Dimensional Analysis", 3rd Edition, Springer 2006.
Articoli scientifici proposti dal docente
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova orale (nelle modalità indicate nel paragrafo fase emergenziale).
Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
SECS-S/06 - METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE - CFU: 6
Lezioni: 42 ore
Docente: Frittelli Marco
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Ufficio 1043, primo piano, Dip. di Matematica, Via Saldini 50