Meccanica analitica

Equazioni di Newton e energia di un sistema meccanico: Equazioni di Newton come equazioni differenziali. Problema di Cauchy. Equazioni lineari. Conservazione dell'energia in sistemi ad un grado di libertà. Conservazione dell'energia in sistemi a più gradi di liberta'. Equazioni cardinali della meccanica. Riferimento: Capitolo 1 e 2 delle dispense di Benettin Galgani Giorgilli (http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dispense/mecc1.ps http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dispense/mecc2.ps) e dispense Bambusi (http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/meccMatematica.pdf).

Moto centrale. Definizione ed esistenza del potenziale. Conservazione del momento angolare e riduzione al caso piano. Equazioni di Newton in coordinate polari piane. Potenziale efficace e suo studio per i potenziali di tipo 1/r^a, a<0<2. Problema dell'orbita chiusa o aperta. Caso Kepleriano. Formula di Binet, soluzione dell'equazione dell'orbita, ellissi Kepleriane; 3 leggi di Keplero. Problema a due corpi. Riferimento: Capitolo 2 delle dispense di Benettin Galgani Giorgilli (http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dispense/mecc2.ps).

Equazioni di Lagrange. Deduzione delle equazioni di Lagrange per (1) una particella in un sistema di coordinate qualsiasi, (2) un sistema di particelle soggette a vincoli olonomi indipendenti dal tempo. Integrale di Jacobi. Conservazione dell'energia. L'energia cinetica come forma quadratica definita positiva. Riduzione in forma normale per le equazioni di Lagrange di un sistema naturale. Punti d'equilibrio di un sistema lagrangiano naturale e loro stabilità. Linearizzazione di un sistema lagrangiano naturale in un punto di equilibrio, piccole oscillazioni. Riferimento: dispense di Bambusi su equazioni di Lagrange. Ultima versione disponibile in Ariel.

Equazioni di Hamilton. Momenti, Hamiltoniana e deduzione delle
equazioni di Hamilton. Flusso di un campo vettoriale, flusso
Hamiltoniano, derivata di Lie. Definizione di parentesi di Poisson e
loro proprieta'. Parentesi di Poisson e costanti del moto. Relazione
tra costanti del moto e simmetrie. Trasformazioni canoniche:
definizione e condizioni di canonicita'. Condizione di Lie e funzione
generatrice. Cenni sulla forma simplettica (facoltativo). Riferimento:
dispense di Bambusi, disponibili su Ariel. Esistono anche delle dispense di Carati http://users.mat.unimi.it/users/carati/didattica/dispense/hamilton.pdf

Principi variazionali. Problemi che ammettono una formulazione variazionale, principio di Fermat. Principio di Hamilton. Equazioni di Eulero Lagrange. Formulazione variazionale delle equazioni della dinamica. Principio di Maupertuis. Riferimenti: dispense di Benettin Galgani Giorgilli (http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dispense/mecc4.ps). Per Maupertuis si veda (http://users.mat.unimi.it/users/bambusi/dispense/maupertuis.pdf)

Relatività. Il principio di invarianza della velocita' della luce e deduzione della dipendenza dal sistema di riferimento della contemporaneità. Trasformazioni di Lorentz. Paradossi: dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze. Spazio tempo quadridimensionale e pseudometrica. Le trasformazioni di Lorentz come isometrie della metrica pseudoeuclidea. Il tempo proprio. Pseudolunghezza di una curva. Paradosso dei gemelli. Dinamica relativistica: principio variazionale per la dinamica di una particella libera relativistica. Quantità di moto ed energia di una particella relativistica. Quadrivelocita' e quadrimomento. Facoltativo: i potenziali elettromagnetici e leggi di trasformazione del campo elettromagnetico; principio d'azione per la forza di Lorentz; invarianza relativistica delle equazioni di Newton in forma relativistica con forza di Lorentz. Riferimento dipense di Carati (http://users.mat.unimi.it/users/carati/didattica/dispense/relativita.pdf)

Per ogni argomento si può anche fare riferimento solo alle dispense di Carati del corso parallelo.

- Equazioni di Lagrange: deduzione nel caso modello di un punto su una superficie liscia e cenno al caso generale; energia generalizzata. Esempio del moto centrale con potenziale gravitazionale o coulombiano, e discussione della sezione d'urto. Modi normali di oscillazione.

- Equazioni di Hamilton: deduzione. Spazio delle fasi e teorema di Liouville; variabili dinamiche e costanti del moto. Parentesi di Poisson. Trasformazioni canoniche con il metodo delle funzioni generatrici. Relazioni tra quantità conservate e simmetrie.

- Principi variazionali: il principio di Hamilton per le equazioni di Lagrange e per le equazioni di Hamilton (con applicazione alle trasformazioni canoniche). Complementi: Il principio di Maupertuis, il principio di Hamilton per la corda vibrante.

- Relatività ristretta. Lo spaziotempo. I sistemi inerziali e il principio di costanza della velocità della luce. Deduzione delle trasformazioni di Lorentz e confronto con quelle di Galileo. Applicazioni varie: limitazione sulla velocità delle particelle, addizione delle velocità, comportamento di regoli ed orologi in movimento (contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi). Interpretazione geometrica: la metrica pseudoeuclidea e la lunghezza delle curve di tipo tempo come tempo proprio; il paradosso dei gemelli. La lagrangiana della particella libera; energia e momento ed energia a riposo. Quadrivelocità e quadrimomento. Invarianza relativistica delle equazioni di Maxwell. Lagrangiana relativistica di una particella carica in campo elettromagnetico.