Metodi matematici applicati alla chimica

A.A. 2021/2022
6
Crediti massimi
56
Ore totali
SSD
MAT/01 MAT/02 MAT/03 MAT/04 MAT/05 MAT/06 MAT/07 MAT/08 MAT/09
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
In questo insegnamento si introducono concetti teorici e tecniche computazionali di Analisi Matematica, necessari per lo studio delle soluzioni di alcune delle equazioni differenziali utilizzate nei modelli matematici che descrivono molti fenomeni naturali.
Risultati apprendimento attesi
Gli studenti acquisiranno la capacita' di utilizzare i principali strumenti del calcolo differenziale ed integrale applicato a funzioni vettoriali di piu' variabili reali, così da descrivere il comportamento di alcuni modelli matematici utili per la descrizione di processi fisici.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
La quasi totalità del materiale presentato nel corso sarà reso disponibile "a-distanza". In parte utilizzeremo la modalità asincrona (lezioni con commento audio, registrate dal desktop del docente, disponibili mediante la piattaforma Ariel); e in parte utilizzeremo la modalità sincrona (per chiarimenti, approfondimenti, risoluzione di esercizi), usufruendo della piattaforma Zoom.
Questa scelta ha lo scopo di lasciare agli studenti ampia libertà di usufruire del tempo per le attività laboratoriali.
Si auspica inoltre di riuscire a tenere un certo numero di lezioni in presenza; questa opzione verrà valutata durante il corso, in funzione del numero di studenti coinvolti.
Nel caso gli esami debbano essere sostenuti a distanza, le modalità solite potranno variare, e il tempo dedicato alla prova orale verrà aumentato.
Programma
1] Calcolo differenziale per funzioni vettoriali di variabile vettoriale. Curve: leggi orarie, orientazione, ascissa curvilinea. Integrale di linea di I specie e sue applicazioni. Funzioni f:Rⁿ→R: continuità, differenziabilità, derivate seconde, formula di Taylor al II ordine. Mappe F:Rⁿ→Rᵐ: matrice jacobiana, composizione. Applicazioni in R^3: coordinate cilindriche e sferiche. Superfici. Ottimizzazione libera: punti stazionari, matrice hessiana, forme quadratiche, test degli autovalori. Ottimizzazione vincolata: funzioni implicite e teorema del Dini per un vincolo scalare; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
2] Calcolo integrale per funzioni di 2 e 3 variabili reali. Costruzione e principali proprietà dell'integrale di Riemann per f:R²→R: integrali iterati estesi a insiemi regolari, funzioni misurabili, insiemi di misura nulla. Cambiamento di variabili. Integrali doppi impropri. Integrale di Riemann per f:Rᶟ→R: metodi di integrazione "per fili" e "per strati". Solidi di rotazione; applicazioni meccaniche. Integrali di superficie di I specie e applicazioni.
3] Campi vettoriali e integrazione. Gli operatori differenziali grad, div, rot e le loro relazioni. Integrale di linea di II specie: lavoro di una campo vettoriale lungo una curva. Campi irrotazionali e conservativi, lemma di Poincaré, insiemi semplicemente connessi. Integrali di superficie di II specie, superfici orientabili, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, superfici con bordo. Formule integrali: formula di Gauss-Green nel piano; teorema della Divergenza in R² ed Rᶟ; teorema di Stokes.
4] Equazioni differenziali ordinarie: problemi di Cauchy, esistenza/unicità di soluzioni locali/globali. Equazioni: a variabili separabili, lineari del I ordine, di Bernoulli. Equazioni lineari del II ordine e struttura dello spazio delle soluzioni. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni lineari a coefficienti costanti e oscillatori armonici. Cenni ad alcune equazioni differenziali alle derivate parziali.

5] Un eventuale argomento aggiuntivo potrà entrare a far parte del programma. La scelta di questo argomento dipende, di anno in anno, dal numero di ore che rimangono disponibili e dall'interesse manifestato dagli studenti presenti.
Prerequisiti
E` fortemente consigliato il superamento dell'esame "Istituzioni di Matematica".
Metodi didattici
In anni di normale attività didattica:
Lezioni frontali. Esercitazioni. Assegnazione di esercizi e loro discussione durante le ore di esercitazione.
Materiale di riferimento
- M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli ed.;
- G. Turrell, Mathematics for Chemistry and Physics, AcademicPress, 2002.
- altre eventuali note didattiche fornite dal docente.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.
- Nella prova scritta vengono assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di
risolvere problemi di Analisi Matematica. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste 2 prove intermedie, che sostituiscono la prova scritta del primo appello (questa seconda opzione potrebbe non essere disponibile in caso la didattica sia tenuta a distanza). Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie vengono comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame o dell'appello precedente. Durante la prova orale viene richiesto di illustrare alcuni risultati
del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema di Analisi Matematica, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e viene comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/01 - LOGICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 0
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 0
MAT/04 - MATEMATICHE COMPLEMENTARI - CFU: 0
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 0
MAT/06 - PROBABILITA E STATISTICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/07 - FISICA MATEMATICA - CFU: 0
MAT/08 - ANALISI NUMERICA - CFU: 0
MAT/09 - RICERCA OPERATIVA - CFU: 0
Esercitazioni: 16 ore
Lezioni: 40 ore
Docente/i
Ricevimento:
si veda la pagina personale del docente.
Via saldini, 50, II piano (vicino all'ascensore)
Ricevimento:
mercoledi` 12.30-14.00, oppure su appuntamento
Dip. Matematica, via C.Saldini 50, studio R013, pianoterra