Metodi matematici della fisica

Il corso si propone di introdurre lo studente ai metodi dell'analisi complessa e dell'analisi funzionale. Nonostante il suo carattere introduttivo il corso vuole anche essere rigoroso, non trascurando gli aspetti dimostrativi piu` significativi. Sono punti fondamentali del programma:
-il concetto di funzione olomorfa e esempi di mappe, espandibilita` in serie di Taylor, teorema di Cauchy e applicazioni, singolarita` isolata e sviluppo di Laurent. Teorema dei residui e integrazione nel piano complesso. Concetto di prolungamento analitico.
-gli spazi di Banach e di Hilbert, esempi di spazi di funzioni. Introduzione agli operatori lineari sugli spazi di Hilbert.
-serie di Fourier e trasformata di Fourier e di Laplace.
-Introduzione alla teoria delle distribuzioni temperate.

Al termine del corso lo studente avra' sviluppato le seguenti abilita`
1)) sapra' maneggiare numeri complessi unitamente alla loro interpretazione geometrica e sapra' svolgere operazioni aritmetiche ed algebriche in campo complesso, studiare mappe nel piano complesso.
2) sapra' effettuare analisi e studio di funzioni (monodrome e polidrome) in campo complesso
3) sapra' calcolare integrali in campo complesso utilizzando tutte le principali tecniche di integrazione in campo complesso basate su teorema di Cauchy e calcolo dei residui
4) avra` conoscenze delle principali proprieta` degli spazi di Hilbert e di Banach, conoscenza di importanti sistemi ortonormali
di funzioni (Hermite, Legendre)
5) avra` conoscenze delle principali proprieta` di operatori lineari limitati come: proiettori, isometrie, operatori unitari, funzione di operatore limitato, nozione di aggiunto ed estensione al caso non limitato. Capacita` calcolative in ambito finito-dimensionale e in semplici esempi infinito-dimensionali
6) avra` conoscenze della teoria delle serie di Fourier, anche per aspetti di convergenza puntuale, e sara` in grado di calcolare
gli sviluppi in serie di semplici funzioni.
7) avra` conoscenza della trasformata integrale di Fourier (e Laplace) in L1 e L2, e del teorema di Riemann-Lebesgue. Sapra` calcolare le principali trasformate, anche con le tecniche di integrazione nel piano complesso.
8) avra` conoscenze di base di teoria delle distribuzioni temperate e delle relative operazioni, conoscenza delle principali distribuzioni (delta, theta, parte principale), derivata e trasformata di Fourier, con applicazionii (identita' di Sokhotskii-Plemelj).