Applicazioni fisiche della teoria dei gruppi
A.A. 2022/2023
Obiettivi formativi
L'insegnamento si pone come obiettivo di insegnare agli studenti gli elementi fondamentali della teoria dei gruppi: in particolare i gruppi finiti e i gruppi di Lie. Alla fine dell'insegnamento gli studenti conosceranno tutti i metodi della teoria dei gruppi indispensabili per poter affrontare problemi matematici tipici dei modelli di unificazione delle forze fondamentali.
Risultati apprendimento attesi
Lo studente al termine dell'insegnamento avrà acquisito le seguenti abilità:
1. Sarà capace di scrivere una lagrangiana per una qualunque teoria
dei campi e invariante per qualunque simmetria di gauge.
2. Sarà in grado di studiare lo schema di rottura della simmetria di gauge per qualunque modello di unificazione delle forze.
3. Sarà capace di scrivere le interazioni di gauge e di yukawa, includendo tutti i coefficienti a fattore, per ogni componente dei campi coinvolti.
4. Sarà capace di costruire qualunque rappresentazione per qualunque gruppo di Lie.
1. Sarà capace di scrivere una lagrangiana per una qualunque teoria
dei campi e invariante per qualunque simmetria di gauge.
2. Sarà in grado di studiare lo schema di rottura della simmetria di gauge per qualunque modello di unificazione delle forze.
3. Sarà capace di scrivere le interazioni di gauge e di yukawa, includendo tutti i coefficienti a fattore, per ogni componente dei campi coinvolti.
4. Sarà capace di costruire qualunque rappresentazione per qualunque gruppo di Lie.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
L'insegnamento sara' erogato nell'anno accademico 2023/24
Periodo
Secondo semestre
Programma
APPLICAZIONI FISICHE DELLA TEORIA DEI GRUPPI
Assiomi della teoria dei gruppi.
Ordine di un gruppo: finito o infinito.
Il criterio di credibilità di una teoria fisica.
Definizione di permutazione degli elementi di un insieme: il gruppo Sn.
Isomorfismi.
Il teorema di Cayley.
Il prodotto diretto di due gruppi.
Teorema di Lagrange.
La partizione di un insieme e le relazioni di equivalenza.
Teorema di Cauchy.
Sottogruppi normali.
Il commutatore di elementi di un gruppo.
Definizione di omomorfismo.
Primo teorema di isomorfismo.
Gruppi di matrici unitarie e l' algebra di Lie.
Le costanti di struttura del gruppo di Lie.
La sottoalgebra di Cartan.
Le radici di un' algebra.
Cenni sulle teorie di grande unificazione delle forze e le teorie di gauge.
Le rappresentazioni matriciali di un gruppo.
I tableaux di Young.
Tensori, prodotti tensoriali, tensori invarianti.
Elenco di tutte le algebre di Lie semplici. I gruppi eccezionali.
Costruzione delle rappresentazioni di un' algebra di Lie con il metodo di dynkin-cartan.
Regole di diramazione (branching rules).
I gruppi di unificazione SU(5) e SO(10).
Automorfismi e prodotti semidiretti.
Assiomi della teoria dei gruppi.
Ordine di un gruppo: finito o infinito.
Il criterio di credibilità di una teoria fisica.
Definizione di permutazione degli elementi di un insieme: il gruppo Sn.
Isomorfismi.
Il teorema di Cayley.
Il prodotto diretto di due gruppi.
Teorema di Lagrange.
La partizione di un insieme e le relazioni di equivalenza.
Teorema di Cauchy.
Sottogruppi normali.
Il commutatore di elementi di un gruppo.
Definizione di omomorfismo.
Primo teorema di isomorfismo.
Gruppi di matrici unitarie e l' algebra di Lie.
Le costanti di struttura del gruppo di Lie.
La sottoalgebra di Cartan.
Le radici di un' algebra.
Cenni sulle teorie di grande unificazione delle forze e le teorie di gauge.
Le rappresentazioni matriciali di un gruppo.
I tableaux di Young.
Tensori, prodotti tensoriali, tensori invarianti.
Elenco di tutte le algebre di Lie semplici. I gruppi eccezionali.
Costruzione delle rappresentazioni di un' algebra di Lie con il metodo di dynkin-cartan.
Regole di diramazione (branching rules).
I gruppi di unificazione SU(5) e SO(10).
Automorfismi e prodotti semidiretti.
Prerequisiti
Geometria 1 e Algebra Lineare:
prodotto di matrici , determinante , matrice inversa . Sistema di assi cartesiani in n dimensioni, rotazioni , traslazioni, equazioni del piano e delle rette, autovalori, autovettori di una matrice etc...
prodotto di matrici , determinante , matrice inversa . Sistema di assi cartesiani in n dimensioni, rotazioni , traslazioni, equazioni del piano e delle rette, autovalori, autovettori di una matrice etc...
Metodi didattici
Lezioni in presenza, esercizi.
Materiale di riferimento
M.A. Armstrong
Groups and symmetry
R. Slansky
Group theory for unified model building
PHYSICS REPORTS (Review Section of Physics Letters) 79, No. 1 (1981) 1—128.
Groups and symmetry
R. Slansky
Group theory for unified model building
PHYSICS REPORTS (Review Section of Physics Letters) 79, No. 1 (1981) 1—128.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esame scritto e orale. Criteri valutazione: buona comprensione degli argomenti trattati nel corso, capacità di applicare le nozioni apprese.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore