Complementi di matematica e calcolo numerico

Statistica descrittiva: concetti e definizioni di base (popolazione, unità statistica, carattere, modalità). Variabili numeriche (discrete, continue), non numeriche. Distribuzione di frequenza (assoluta, relativa, percentuale, cumulata). Raggruppamento di dati in classi: range, ampiezza della classe, classi aperte/chiuse a destra/sinistra. Esempi di grafici delle distribuzioni di frequenza: circolare, a barre, istogrammi. Indici di posizione: media, mediana, moda. Media aritmetica, pesata e per dati raggruppati in classi. Devianza, varianza, scarto quadratico medio. Coefficiente di variazione CV e CV%. Media quadratica, geometrica, armonica. Calcolo della mediana, di decili, quartili, percentili per dati discreti (caso finito) e per dati raggruppati in classi (caso continuo). Concetto di probabilità. Variabile aleatoria, distribuzione di probabilità, funzione di ripartizione (caso discreto). Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria discreta. Variabili aleatorie continue. Distribuzione uniforme: valore atteso e varianza. Distribuzione normale: studio delle proprietà della densità di probabilità al variare dei parametri. Calcolo della probabilità di dati con distribuzione normale. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria Y ottenuta da trasformazioni di una variabile aleatoria X con parametri noti: Y=aX+b.
Retta di regressione, metodo dei minimi quadrati nel discreto. Covarianza, coefficiente di correlazione lineare. Metodo per ricavare i coefficienti del polinomio dei minimi quadrati discreti di grado 2. Linearizzazione di modelli non lineari per il calcolo della retta di regressione.

Il problema dell'interpolazione polinomiale. Dimostrazione del teorema di unicità. Costruzione del polinomio di interpolazione con il metodo di Vandermonde e con il metodo di Lagrange. Errore di interpolazione. Controesempio di Runge. Concetto di interpolazione ed estrapolazione. Spline lineari: definizione, regolarità, costruzione mediante la base. Spline cubiche: definizione, regolarità.

Derivazione numerica: approssimazione della derivata in avanti, all'indietro, formula del punto medio, approssimazione della derivata seconda, richiami sullo sviluppo di Taylor e formula dell'errore.

Formule di quadratura (FQ) per l'approssimazione di integrali definiti: rettangoli, punto medio, trapezi, Cavalieri-Simpson. Formule di quadratura di Newton-Cotes: nodi, pesi, FQ aperte e chiuse, grado di precisione. Formule di quadratura composite; formule dell'errore. Calcolo dei pesi delle formule di quadratura dei trapezi e di Cavalieri-Simpson.

Introduzione all'approssimazione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero esplicito e implicito: costruzione geometrica, con lo sviluppo di Taylor, mediante l'approssimazione delle derivate e con formule di quadratura. Metodi di Crank-Nicolson e di Heun. Definizione ed esempi di stabilità e instabilità assoluta, definizione di convergenza.

Approssimazione di zeri di funzione: il metodo di bisezione, di Newton, delle corde e delle secanti. Ordine di convergenza. Test d'arresto. Teorema di convergenza globale del metodo di Newton. Esempi di metodi iterativi di punto fisso.

Richiami sui vettori nel piano e nello spazio (R2 e R3): modulo, direzione, verso; rappresentazione geometrica; notazioni; vettore nullo; somma e moltiplicazione per uno scalare (definizione, proprietà, costruzione geometrica); versori e vettori della base i,j; componenti e rappresentazione cartesiana; distanza tra due punti.
Vettori paralleli e ortogonali. Prodotto scalare. Norme di vettori. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Ortogonalità dei versori fondamentali i,j,k. Alcune generalizzazioni a R^n.

Richiami sulle matrici in R(mxn): definizione, matrici uguali, somma e prodotto per un numero reale, matrice nulla, matrice identità, matrice opposta, vettori riga e colonna, matrici diagonali e triangolari, matrice trasposta, matrici simmetriche. Prodotto (matrice)x(vettore), (matrice)x(matrice): definizione, proprietà, esempi. Norme di matrici: definizione, proprietà, norma-1 e norma infinito.
Prodotto di matrici diagonali, tridiagonali, triangolari. Determinante di una matrice 2x2 e 3x3. Proprietà del determinante. Definizione di matrice inversa. Sistemi lineari Ax=b 2x2, 3x3, cenni ai sistemi nxn. Sistemi omogenei. Sistemi compatibili (determinati e indeterminati) e incompatibili (impossibili). Numero di condizionamento di una matrice quadrata. Studio del condizionamento di un sistema lineare nel caso particolare di perturbazione del termine noto. Sottomatrici quadrate, minore e rango di una matrice, matrice orlata [A|b]. Teorema di Rouchè-Capelli (caso particolare A(nxn) senza dimostrazione). Esempi di sistemi 2x2 e 3x3 determinati, indeterminati e impossibili. Gradi di libertà. Definizione di autovalori e autovettori. Calcolo di autovalori di matrici 2x2 e 3x3. Norma 2 di matrice e condizionamento in norma 2. Il metodo di eliminazione di Gauss. Prodotto vettoriale. Prodotto misto. Condizioni di dipendenza e indipendenza lineare di n vettori di R^m. Richiami sull'equazione parametrica e cartesiana della retta in R^3, sull'equazione del piano e rette e piani paralleli e ortogonali.