Analisi matematica 1
A.A. 2024/2025
Obiettivi formativi
L'insegnamento mira a fornire allo studente i concetti basilari dell'Analisi Matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale in una variabile reale.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà conoscere i concetti di base del calcolo differenziale per le funzioni di una variabile reale; dovrà inoltre saper padroneggiare le tecniche di calcolo fondamentali per la risoluzioni di esercizi anche di media complessità.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Analisi Matematica 1 (ediz.1)
Responsabile
Periodo
Primo semestre
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Calanchi Marta, Stuvard Salvatore
Turni:
Analisi Matematica 1 (ediz.2)
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Campo reale e campo complesso.
Richiami di teoria elementare degli insiemi e delle applicazioni tra insiemi. L'insieme dei numeri reali R e la sua caratterizzazione come campo ordinato con la proprietà di esistenza dell'estremo superiore. Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi. La retta reale estesa. Spazi euclidei. Il campo dei numeri complessi C. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre, radici n-esime. Il teorema fondamentale dell'algebra. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili. Insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.
Spazi metrici e limiti di successioni.
Definizione di spazio metrico, esempi ed intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti. Il campo reale esteso come spazio metrico. Successioni. Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy e gli spazi metrici completi. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Definizione del numero di Nepero e ed applicazioni.
Serie numeriche.
Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Il criterio di Cauchy per la convergenza. Serie a termini positivi e criteri di convergenza: confronto, rapporto e radice, condensazione. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz.
Limiti e continuità.
Limiti di funzioni. Definizione equivalente usando le successioni. Continuità di funzioni tra spazi metrici. Controimmagine di un aperto. Continuità e compattezza. Continuità della funzione composta. Uniforme continuità. Funzioni reali di una variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti ed operazioni algebriche. Forme di indecisione. Asintoti. Discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi e conseguenze. Continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Differenziabilità e definizione di derivata. Derivazione di funzioni elementari. Regole di derivazione: operazioni algebriche, funzione composta e funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Derivate di ordine superiore. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio di funzioni: monotonia, ottimizzazione locale e globale. Teorema di De L'Hospital. Formule di Taylor ed applicazioni.
Il programma definitivo sarà pubblicato alla fine delle lezioni sul sito web Ariel https://analisimatematica1.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx
Richiami di teoria elementare degli insiemi e delle applicazioni tra insiemi. L'insieme dei numeri reali R e la sua caratterizzazione come campo ordinato con la proprietà di esistenza dell'estremo superiore. Esistenza delle radici n-esime dei numeri positivi. La retta reale estesa. Spazi euclidei. Il campo dei numeri complessi C. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di de Moivre, radici n-esime. Il teorema fondamentale dell'algebra. Insiemi equipotenti. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Insiemi numerabili. Insiemi con la potenza del continuo. Non numerabilità di R.
Spazi metrici e limiti di successioni.
Definizione di spazio metrico, esempi ed intorni sferici. Insiemi limitati, insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi compatti. Il campo reale esteso come spazio metrico. Successioni. Successioni convergenti in uno spazio metrico e loro proprietà. La condizione di Cauchy e gli spazi metrici completi. Sottosuccessioni. Successioni in R. Limiti e operazioni sui limiti. Successioni monotone. Definizione del numero di Nepero e ed applicazioni.
Serie numeriche.
Serie in R. Serie convergenti, serie divergenti, serie irregolari. Il criterio di Cauchy per la convergenza. Serie a termini positivi e criteri di convergenza: confronto, rapporto e radice, condensazione. Serie assolutamente convergenti. Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz.
Limiti e continuità.
Limiti di funzioni. Definizione equivalente usando le successioni. Continuità di funzioni tra spazi metrici. Controimmagine di un aperto. Continuità e compattezza. Continuità della funzione composta. Uniforme continuità. Funzioni reali di una variabile reale. Esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti ed operazioni algebriche. Forme di indecisione. Asintoti. Discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi e conseguenze. Continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Differenziabilità e definizione di derivata. Derivazione di funzioni elementari. Regole di derivazione: operazioni algebriche, funzione composta e funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Derivate di ordine superiore. Applicazioni del calcolo differenziale allo studio di funzioni: monotonia, ottimizzazione locale e globale. Teorema di De L'Hospital. Formule di Taylor ed applicazioni.
Il programma definitivo sarà pubblicato alla fine delle lezioni sul sito web Ariel https://analisimatematica1.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx
Prerequisiti
Parte del programma ministeriale delle scuole medie superiori, ovvero:
- algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi
- risoluzione di equazione e disequazioni elementari
- elementi di teoria delle funzioni, funzioni elementari e loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni
- elementi di geometria analitica del piano: rette, circonferenze e parabole
- elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione
- elementi di insiemistica
- elementi di logica
- algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi
- risoluzione di equazione e disequazioni elementari
- elementi di teoria delle funzioni, funzioni elementari e loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni
- elementi di geometria analitica del piano: rette, circonferenze e parabole
- elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione
- elementi di insiemistica
- elementi di logica
Metodi didattici
Prima dell'inizio delle lezioni dell'insegnamento di Analisi Matematica 1, si svolge l'insegnamento di Elementi di Matematica di Base. Tale corso breve ha lo scopo di agevolare il recupero dei prerequisiti e di approfondire alcuni aspetti della matematica di base. La frequenza alle lezioni di Elementi di Matematica di Base ed il superamento del relativo esame sono fortemente consigliati.
L'insegnamento di Analisi Matematica 1 prevede lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna, alternate secondo un calendario pubblicato sul relativo sito Ariel: la frequenza a lezioni e esercitazioni è fortemente consigliata.
Sul sito Ariel vengono pubblicati settimanalmente dei fogli di esercizi relativi agli argomenti già trattati.
Sono previste due attività integrative. Nella prima, ogni settimana un tutor svolge una esercitazione speciale di due ore, risolvendo alcuni degli esercizi proposti e rispondendo alle domande degli studenti. La seconda attività è di preparazione alla prima prova in itinere. Tra metà e fine ottobre, due testi composti da esercizi simili a quelli d'esame vengono pubblicati sul sito Ariel. Gli studenti hanno a disposizione circa una settimana per scrivere la soluzione e, su base volontaria, consegnarla per la correzione a due tutori. I tutori hanno un duplice compito: correggerla e quindi riconsegnarla ai singoli partecipanti, commentando le correzioni effettuate, affinché possano rendersi conto degli errori commessi e di quanto ci si aspetta da loro durante una prova scritta.
L'insegnamento di Analisi Matematica 1 prevede lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna, alternate secondo un calendario pubblicato sul relativo sito Ariel: la frequenza a lezioni e esercitazioni è fortemente consigliata.
Sul sito Ariel vengono pubblicati settimanalmente dei fogli di esercizi relativi agli argomenti già trattati.
Sono previste due attività integrative. Nella prima, ogni settimana un tutor svolge una esercitazione speciale di due ore, risolvendo alcuni degli esercizi proposti e rispondendo alle domande degli studenti. La seconda attività è di preparazione alla prima prova in itinere. Tra metà e fine ottobre, due testi composti da esercizi simili a quelli d'esame vengono pubblicati sul sito Ariel. Gli studenti hanno a disposizione circa una settimana per scrivere la soluzione e, su base volontaria, consegnarla per la correzione a due tutori. I tutori hanno un duplice compito: correggerla e quindi riconsegnarla ai singoli partecipanti, commentando le correzioni effettuate, affinché possano rendersi conto degli errori commessi e di quanto ci si aspetta da loro durante una prova scritta.
Materiale di riferimento
Ariel website https://analisimatematica1.ariel.ctu.unimi.it/v5/home/Default.aspx
Testo di riferimento: P. M. Soardi, Analisi Matematica, II edizione, Città Studi, 2010.
Testi di consultazione consigliati:
- W. Rudin, Principi di Analisi Matematica, Mc Graw Hill, 1997.
- G. Gilardi, Analisi Matematica di Base, II edizione, McGraw-Hill, 2011
- E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000.
- L. De Michele, G. L. Forti: Analisi Matematica: problemi ed esercizi, CLUP, 2000.
Sul sito Ariel dell'insegnamento sono disponibili vari materiali didattici, tra i quali:
- programma dettagliato dell'insegnamento
- uno o più fogli di esercizi per ognuna delle tematiche trattate
- note del docente su alcuni argomenti specifici
- testi di tutte le prove scritte effettuate negli ultimi anni
Testo di riferimento: P. M. Soardi, Analisi Matematica, II edizione, Città Studi, 2010.
Testi di consultazione consigliati:
- W. Rudin, Principi di Analisi Matematica, Mc Graw Hill, 1997.
- G. Gilardi, Analisi Matematica di Base, II edizione, McGraw-Hill, 2011
- E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000.
- L. De Michele, G. L. Forti: Analisi Matematica: problemi ed esercizi, CLUP, 2000.
Sul sito Ariel dell'insegnamento sono disponibili vari materiali didattici, tra i quali:
- programma dettagliato dell'insegnamento
- uno o più fogli di esercizi per ognuna delle tematiche trattate
- note del docente su alcuni argomenti specifici
- testi di tutte le prove scritte effettuate negli ultimi anni
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consta di una prova scritta ed una prova orale: entrambe le prove concorrono a formare la valutazione finale.
Nella prova scritta vengono assegnati alcuni esercizi, atti a verificare la capacità acquisita nel risolvere problemi di Analisi Matematica. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla difficoltà degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Possono essere previste due prove intermedie, la prima a novembre e la seconda a gennaio, che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie vengono tempestivamente comunicate sul sistema online.
Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame.
Durante la prova orale lo studente deve illustrare alcuni dei principali argomenti e risultati sviluppati durante l'insegnamento. esemplificandoli in situazioni concrete ed utilizzandoli per risolvere qualche problema di Analisi Matematica, al fine di valutare la conoscenza e l'effettiva comprensione di tali argomenti nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate sia la prova scritta che la prova orale, con un voto complessivo maggiore o uguale a 18/30. Il voto finale è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
Nella prova scritta vengono assegnati alcuni esercizi, atti a verificare la capacità acquisita nel risolvere problemi di Analisi Matematica. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla difficoltà degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Possono essere previste due prove intermedie, la prima a novembre e la seconda a gennaio, che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie vengono tempestivamente comunicate sul sistema online.
Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame.
Durante la prova orale lo studente deve illustrare alcuni dei principali argomenti e risultati sviluppati durante l'insegnamento. esemplificandoli in situazioni concrete ed utilizzandoli per risolvere qualche problema di Analisi Matematica, al fine di valutare la conoscenza e l'effettiva comprensione di tali argomenti nonché la capacità di saperli applicare.
L'esame si intende superato se vengono superate sia la prova scritta che la prova orale, con un voto complessivo maggiore o uguale a 18/30. Il voto finale è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docenti:
Ciraolo Giulio, Messina Francesca
Turni:
Docente/i
Ricevimento:
mercoledi' 15.30-17.30
ufficio 2044 (Dipartimento di Matematica, via Saldini 50- II piano)
Ricevimento:
Previo appuntamento da richiedere via email
Studio 1005, Dipartimento di Matematica, Via Cesare Saldini 50, primo piano o su Zoom da remoto