Analisi matematica 1

1. Il campo reale
Numeri reali: ordinamento, operazioni e proprietà. Insiemi limitati e illimitati. Maggioranti, minoranti, estremo superiore/inferiore, massimo e minimo. Intervalli. Completezza dei reali. Densità dei razionali e irrazionali. Proprietà Archimedea e radice n-esima. Rappresentazione decimale dei razionali.
2. Il campo complesso
Definizione del campo complesso e sue operazioni. Isomorfismo tra ℝ e un sottocampo di ℂ. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Coniugato, modulo, potenze e radici. Formula di De Moivre. Teorema fondamentale dell'algebra.
3. Cardinalità
Cardinalità di un insieme. Insiemi equipotenti. Numerabilità di ℤ, ℚ e operazioni su insiemi numerabili. Cardinalità del continuo e non numerabilità di ℝ. Insieme delle parti e cardinalità di (ℕ).
4. Successioni e limiti
Successioni reali: convergenza, divergenza, oscillazione. Unicità del limite, teoremi di compattezza e di Bolzano-Weierstrass. Criteri di Cauchy. Limiti nella retta reale estesa, limiti per eccesso e difetto. Teoremi di confronto. Forme indeterminate. Successioni monotone, limiti notevoli, costante e, confronto tra infiniti e infinitesimi. Limsup, liminf, sottosuccessioni e punti di accumulazione.
5. Serie numeriche
Definizione e carattere di una serie. Convergenza assoluta e criteri di convergenza (confronto, radice, rapporto, condensazione). Serie armoniche generalizzate. Serie a termini positivi e a segno alterno. Cenni su convergenza incondizionata.
6. Limiti di funzione e continuità
Limiti di funzioni reali, successioni e composizioni. Funzioni limitate e loro estremi. Teoremi fondamentali sui limiti. Asintoti, infinitesimi, continuità e classificazione delle discontinuità. Funzioni monotone e inversa continua. Continuità uniforme e teorema di Heine-Cantor. Funzioni Lipschitziane e semicontinuità.
7. Calcolo differenziale (una variabile)
Derivate e continuità. Punti di non derivabilità. Regole di derivazione e derivate di funzioni composte e inverse. Studio del segno della derivata, massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy. Derivate di ordine superiore, formule di Taylor. Convessità e punti di flesso. Studio qualitativo del grafico.
8. Calcolo integrale (Riemann)
Integrale indefinito e tecniche di integrazione. Integrabilità secondo Riemann, significato geometrico. Proprietà dell'integrale definito. Teorema fondamentale del calcolo. Funzione integrale e derivate. Integrali impropri e criteri di convergenza. Studio qualitativo di funzioni definite tramite integrali.