Matematica i
A.A. 2025/2026
Obiettivi formativi
Questo insegnamento vuole fornire gli strumenti necessari a maneggiare le basi del formalismo e del metodo matematico.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso, studenti e studentesse saranno in grado di maneggiare la teoria elementare degli insiemi e le funzioni elementari. Conosceranno le nozioni di gruppo, anello e campo, e sapranno applicarle a vari esempi fondamentali (numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi, gruppo delle permutazioni, classi di resto). Sapranno risolvere sistemi di congruenze lineari in modo algoritmico e non. Sapranno le proprietà fondamentali degli spazi vettoriali e delle loro basi, delle applicazioni lineari e della loro rappresentazione matriciale, il che fornirà metodi teorici ed algoritmici per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
L'insegnamento coprirà gli argomenti seguenti:
- Operazioni di base tra insiemi: unione, intersezione, differenza insiemistica;
- Relazioni e relative proprietà fondamentali: transitività, riflessività, simmetria. Relazioni di equivalenza e d'ordine.
- Insiemi fondamentali di numeri: numeri naturali, interi, razionali e complessi.
- Equazioni, disequazioni algebriche.
- Funzioni elementari.
- Principio d'induzione (prima e seconda forma)
- Congruenze, Teorema Cinese del Resto.
- Gruppi, omomorfismi tra gruppi. Gruppi di permutazione.
- Campi e anelli: definizioni, esempi, proprietà fondamentali. Divisioni tra polinomi e gradi di polinomi.
- Vettori, operazioni tra vettori.
- Spazi vettoriali: dipendenza lineare, generatori, basi, dimensione, formula di Grassman.
- Matrici: operazioni tra matrici, relazione tra matrici e sistemi lineari, metodo di Gauss-Jordan. Relazione con gli omomorfismi, ricerca di autovalori ed autovettori, diagonalizzabilità.
Qualora il tempo lo permettesse, parleremo anche di nozioni base di geometria: piani, rette, parallelismo, perpendicolarità ed intersezioni in dimensioni 2 e 3.
- Operazioni di base tra insiemi: unione, intersezione, differenza insiemistica;
- Relazioni e relative proprietà fondamentali: transitività, riflessività, simmetria. Relazioni di equivalenza e d'ordine.
- Insiemi fondamentali di numeri: numeri naturali, interi, razionali e complessi.
- Equazioni, disequazioni algebriche.
- Funzioni elementari.
- Principio d'induzione (prima e seconda forma)
- Congruenze, Teorema Cinese del Resto.
- Gruppi, omomorfismi tra gruppi. Gruppi di permutazione.
- Campi e anelli: definizioni, esempi, proprietà fondamentali. Divisioni tra polinomi e gradi di polinomi.
- Vettori, operazioni tra vettori.
- Spazi vettoriali: dipendenza lineare, generatori, basi, dimensione, formula di Grassman.
- Matrici: operazioni tra matrici, relazione tra matrici e sistemi lineari, metodo di Gauss-Jordan. Relazione con gli omomorfismi, ricerca di autovalori ed autovettori, diagonalizzabilità.
Qualora il tempo lo permettesse, parleremo anche di nozioni base di geometria: piani, rette, parallelismo, perpendicolarità ed intersezioni in dimensioni 2 e 3.
Prerequisiti
Nessuno
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Materiale di riferimento
Forniremo note per il materiale del corso tramite la piattaforma Ariel.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame sarà scritto. Consisterà di alcuni esercizi da svolgere.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 3
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 36 ore
Lezioni: 48 ore
Lezioni: 48 ore
Docenti:
Lombardi Luigi, Luperi Baglini Lorenzo
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 15:30-16:30
Dipartimento di Matematica, via C. Saldini 50. Ufficio: 1.109
Ricevimento:
Su appuntamento
Dipartimento di Matematica - Ufficio 2070