Matematica i

Parte 1. Nozioni preliminari.

Combinatoria: come si conta (cenni). Insiemi e cardinalità. L'algebra degli insiemi: sottoinsiemi, insieme delle parti, operazioni sui sottoinsiemi, somma e prodotto di insiemi. I numeri naturali, interi, razionali e reali. Equazioni e disequazioni, intervalli di R. L'assioma di completezza dei reali. L'insieme dei numeri razionali non è completo. L'esistenza della radice quadrata di 2 nei numeri reali. Massimi e minimi di sottoinsiemi di R. Maggioranti, minoranti. Estremo superiore ed inferiore di sottoinsiemi di R.

Parte 2. Relazoni, funzioni e strutture.

2.1 Relazioni e funzioni.

Relazioni e funzioni fra insiemi. Relazioni d'equivalenza e partizioni. Relazioni d'ordine parziali e lineari. Composizione di relazioni e di funzioni. Relazione inversa. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzione identità, inversa di una funzione, isomorfismi. Immagine e controimmagine di un un insieme rispetto a una funzione. Nucleo di una funzione.

2.2 Funzioni reali ad una variabile reale.

Grafico, dominio naturale e restrizione di una funzione. Funzioni monotone. Somma, prodotto e rapporto di funzioni. Simmetrie. Funzioni lineari e valore assoluto. Funzioni potenza. Funzioni esponenziali e logaritmo. Le funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente. Calcolo di alcuni valori notevoli di sin(x), cos(x) e tan(x). Formule di addizione e di duplicazione. Funzioni trigonometriche inverse: arcocoseno, arcoseno, arcotangente.

2.3 Permutazioni e Gruppi.

Gruppo simmetrico. Fattorizzazione in cicli e in trasposizioni delle permutazioni. Periodo e segno delle permutazioni. Gruppo alterno. Gruppi (cenni).

2.4 Divisibilità e Anelli.

Numeri interi e divisibilità. Numeri primi e fattorizzazione. Algoritmo euclideo. Identità di Bézout. Equazioni diofantee lineari in due variabili. Aritmetica modulare e congruenze lineari (cenni). Polinomi e divisibilità. Divisione fra polinomi. Polinomi irriducibili e fattorizzazione. Anelli (cenni).

2.5 Numeri complessi e Campi.

Operazioni con i numeri complessi. Rappresentazione cartesiana. Inverso, coniugato e modulo di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula del prodotto. Formula di De Moivre per le potenze di numeri complessi. Radici n-esime di numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra. Equazioni di secondo grado. Campi (cenni).

Parte 3. Algebra lineare.

Sistemi di m equazioni lineari in n incognite. Risoluzione con il metodo della riduzione a scalini (Gauss-Jordan). Matrici e loro algebra. Spazi vettoriali e sottospazi (cenni). Basi. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice; matrici e applicazioni lineari. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. Autovalori ed autospazi.

Ciascun argomento del programma è accompagnato da esempi, esercizi, applicazioni.