Statistical methods for finance
A.A. 2026/2027
Obiettivi formativi
The main goal of this course is to give students the necessary statistical instruments required to deal with multivariate data in modern quantitative finance, focusing in particular on multivariate probability distributions and dependence measures.
The course will first introduce and review the general basic concepts related to multivariate random variables and then will analyze some multivariate models that have found wide application in quantitative finance (multivariate normal model and generalizations thereof). Then, the course will present copulas as a statistical tool for building flexible multivariate models and defining new dependence measures that can better fit and explain specific features present in financial data.
The course will first introduce and review the general basic concepts related to multivariate random variables and then will analyze some multivariate models that have found wide application in quantitative finance (multivariate normal model and generalizations thereof). Then, the course will present copulas as a statistical tool for building flexible multivariate models and defining new dependence measures that can better fit and explain specific features present in financial data.
Risultati apprendimento attesi
At the end of the course, the student should know the basic theory of multivariate random variables and the genesis and properties of some noteworthy families of probability distributions, such as the multivariate normal distribution, the multivariate normal variance mixtures, the spherical and elliptical distributions. The student should be also acquainted with the concept of copula and its use in the construction of multivariate distribution, and with copula-based dependence measures which overtake the shortcomings of Pearson's correlation coefficient.
The students is expected to be able to apply this theoretical knowledge by evaluating the applicability of different models from a scientific perspective and choosing the most appropriate distribution for modeling multivariate data in the financial field.
The students is expected to be able to apply this theoretical knowledge by evaluating the applicability of different models from a scientific perspective and choosing the most appropriate distribution for modeling multivariate data in the financial field.
Periodo: Primo trimestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento può essere seguito come corso singolo.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo trimestre
Programma
1. Ripasso dei concetti di base per variabili aleatorie univariate e bivariate. Nozioni di base sulle variabili aleatorie univariate: funzione di ripartizione, funzione di massa di probabilità, funzione di densità di probabilità, momenti.
Panoramica delle distribuzioni di probabilità più comuni: Bernoulli, Binomiale, Normale, Esponenziale, Beta, Gamma.
Asimmetria e curtosi: distribuzioni leptocurtiche, mesocurtiche e platicurtiche.
Funzione inversa generalizzata e funzione quantile.
Trasformazione di variabili aleatorie: metodi per determinare la pdf/cdf di una funzione di una variabile aleatoria (caso univariato). Il caso di funzioni monotone; il caso Y = X^2.
Distribuzioni bivariate, caso continuo: funzione di densità bivariata, funzione di ripartizione bivariata, funzioni di densità marginali e funzioni di ripartizione marginali.
Funzione caratteristica: definizione e proprietà principali. Funzione caratteristica per la variabile normale e per la somma di variabili normali indipendenti. Teoremi d'inversione.
Proprietà della pdf e della funzione caratteristica per distribuzioni simmetriche.
Proprietà e distribuzione asintotica dell'ecdf (funzione di ripartizione empirica). Test di Kolmogorov-Smirnov.
(Distribuzioni stabili: definizione, parametrizzazione, generalizzazione del teorema del limite centrale, collegamento con la divisibilità infinita.)
2. Modelli multivariati standard
Introduzione ai modelli multivariati: distribuzioni congiunte, marginali e condizionate; indipendenza; momenti (vettore delle medie, matrici di varianza-covarianza e correlazione); trasformazioni lineari.
Stimatori standard del vettore delle medie e delle matrici di varianza-covarianza e correlazione.
Distribuzione normale multivariata: definizione/costruzione. Funzione di densità congiunta nel caso non singolare. Simulazione stocastica.
Proprietà della normale multivariata: trasformazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, forma quadratica, convoluzione.
Il caso bivariato: densità congiunta, distribuzioni condizionate, funzione di ripartizione congiunta (probabilità dei quadranti).
Test di normalità:
1) caso univariato: Q-Q plot, test di Jarque-Bera e Shapiro-Wilk
2) caso multivariato: distanza di Mahalanobis e sua distribuzione asintotica.
Asimmetria e curtosi multivariata; test di Mardia.
Limiti del modello normale multivariato. Modelli mistura: generalità (misture finite e infinite).
Modelli mistura di varianza normale multivariata: genesi e principali proprietà.
Funzione caratteristica, trasformazioni lineari, densità, incorrelazione/indipendenza nei modelli di mescolanza di varianza. Distribuzione t di Student univariata e multivariata.
Distribuzioni sferiche: definizioni e caratterizzazioni, anche in termini di variabili aleatorie R e S. Densità congiunta di una variabile aleatoria sferica.
Distribuzioni ellittiche: definizione. Proprietà: rappresentazione stocastica, funzione caratteristica, operazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, convoluzioni, forma quadratica. Stima del vettore di posizione e della matrice di dispersione.
Test di simmetria ellittica: Q-Q plot e test numerici.
3. Copule
Copule: introduzione, definizione e proprietà di base.
Trasformazione quantile e trasformazione di probabilità. Teorema di Sklar. Invarianza delle copule rispetto a trasformazioni strettamente crescenti. Limiti inferiore e superiore di Fréchet.
Esempi di copule:
- Copule fondamentali (copula di indipendenza, copula comonotona, copula contro-monotona);
- Copule implicite (copula gaussiana e t);
- Esempi di copule esplicite (Gumbel e Clayton).
Meta-distribuzioni: costruzione di distribuzioni con margini arbitrari tramite una copula; simulazione di meta-distribuzioni.
Copule di sopravvivenza. Simmetria radiale. Distribuzioni condizionate associate a copule.
Densità di copula. Scambiabilità (exchangeability). Dipendenza perfetta: comonotonia e contro-monotonia.
Misure di dipendenza. Correlazione di Pearson: definizione. Prima fallacia del coefficiente di Pearson: le distribuzioni marginali e le correlazioni a coppie non determinano la distribuzione congiunta. Seconda fallacia: per due margini fissati e un coefficiente di correlazione rho ∈ [-1,1], non è sempre possibile costruire una distribuzione congiunta che li rispetti. Correlazioni ottenibili: esempi.
Tau di Kendall e rho di Spearman: definizioni e proprietà principali; relazione con la copula C di una variabile aleatoria bivariata. Relazioni tra rho di Pearson, tau di Kendall e rho di Spearman per la copula gaussiana. Coefficienti di dipendenza in coda superiore e inferiore: definizione e loro relazione con la copula C.
Stima delle copule a partire dai dati. Metodo dei momenti. Metodo della massima verosimiglianza e approccio in due fasi: Fase 1: stima dei margini (parametrica o non parametrica), Fase 2: stima dei parametri della copula tramite pseudo-campioni.
Esempi: stima della copula gaussiana e della copula t. Il pacchetto R "copula".
Panoramica delle distribuzioni di probabilità più comuni: Bernoulli, Binomiale, Normale, Esponenziale, Beta, Gamma.
Asimmetria e curtosi: distribuzioni leptocurtiche, mesocurtiche e platicurtiche.
Funzione inversa generalizzata e funzione quantile.
Trasformazione di variabili aleatorie: metodi per determinare la pdf/cdf di una funzione di una variabile aleatoria (caso univariato). Il caso di funzioni monotone; il caso Y = X^2.
Distribuzioni bivariate, caso continuo: funzione di densità bivariata, funzione di ripartizione bivariata, funzioni di densità marginali e funzioni di ripartizione marginali.
Funzione caratteristica: definizione e proprietà principali. Funzione caratteristica per la variabile normale e per la somma di variabili normali indipendenti. Teoremi d'inversione.
Proprietà della pdf e della funzione caratteristica per distribuzioni simmetriche.
Proprietà e distribuzione asintotica dell'ecdf (funzione di ripartizione empirica). Test di Kolmogorov-Smirnov.
(Distribuzioni stabili: definizione, parametrizzazione, generalizzazione del teorema del limite centrale, collegamento con la divisibilità infinita.)
2. Modelli multivariati standard
Introduzione ai modelli multivariati: distribuzioni congiunte, marginali e condizionate; indipendenza; momenti (vettore delle medie, matrici di varianza-covarianza e correlazione); trasformazioni lineari.
Stimatori standard del vettore delle medie e delle matrici di varianza-covarianza e correlazione.
Distribuzione normale multivariata: definizione/costruzione. Funzione di densità congiunta nel caso non singolare. Simulazione stocastica.
Proprietà della normale multivariata: trasformazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, forma quadratica, convoluzione.
Il caso bivariato: densità congiunta, distribuzioni condizionate, funzione di ripartizione congiunta (probabilità dei quadranti).
Test di normalità:
1) caso univariato: Q-Q plot, test di Jarque-Bera e Shapiro-Wilk
2) caso multivariato: distanza di Mahalanobis e sua distribuzione asintotica.
Asimmetria e curtosi multivariata; test di Mardia.
Limiti del modello normale multivariato. Modelli mistura: generalità (misture finite e infinite).
Modelli mistura di varianza normale multivariata: genesi e principali proprietà.
Funzione caratteristica, trasformazioni lineari, densità, incorrelazione/indipendenza nei modelli di mescolanza di varianza. Distribuzione t di Student univariata e multivariata.
Distribuzioni sferiche: definizioni e caratterizzazioni, anche in termini di variabili aleatorie R e S. Densità congiunta di una variabile aleatoria sferica.
Distribuzioni ellittiche: definizione. Proprietà: rappresentazione stocastica, funzione caratteristica, operazioni lineari, distribuzioni marginali, distribuzioni condizionate, convoluzioni, forma quadratica. Stima del vettore di posizione e della matrice di dispersione.
Test di simmetria ellittica: Q-Q plot e test numerici.
3. Copule
Copule: introduzione, definizione e proprietà di base.
Trasformazione quantile e trasformazione di probabilità. Teorema di Sklar. Invarianza delle copule rispetto a trasformazioni strettamente crescenti. Limiti inferiore e superiore di Fréchet.
Esempi di copule:
- Copule fondamentali (copula di indipendenza, copula comonotona, copula contro-monotona);
- Copule implicite (copula gaussiana e t);
- Esempi di copule esplicite (Gumbel e Clayton).
Meta-distribuzioni: costruzione di distribuzioni con margini arbitrari tramite una copula; simulazione di meta-distribuzioni.
Copule di sopravvivenza. Simmetria radiale. Distribuzioni condizionate associate a copule.
Densità di copula. Scambiabilità (exchangeability). Dipendenza perfetta: comonotonia e contro-monotonia.
Misure di dipendenza. Correlazione di Pearson: definizione. Prima fallacia del coefficiente di Pearson: le distribuzioni marginali e le correlazioni a coppie non determinano la distribuzione congiunta. Seconda fallacia: per due margini fissati e un coefficiente di correlazione rho ∈ [-1,1], non è sempre possibile costruire una distribuzione congiunta che li rispetti. Correlazioni ottenibili: esempi.
Tau di Kendall e rho di Spearman: definizioni e proprietà principali; relazione con la copula C di una variabile aleatoria bivariata. Relazioni tra rho di Pearson, tau di Kendall e rho di Spearman per la copula gaussiana. Coefficienti di dipendenza in coda superiore e inferiore: definizione e loro relazione con la copula C.
Stima delle copule a partire dai dati. Metodo dei momenti. Metodo della massima verosimiglianza e approccio in due fasi: Fase 1: stima dei margini (parametrica o non parametrica), Fase 2: stima dei parametri della copula tramite pseudo-campioni.
Esempi: stima della copula gaussiana e della copula t. Il pacchetto R "copula".
Prerequisiti
Lo studente dovrebbe conoscere le basi di algebra lineare, di calcolo differenziale e integrale, di calcolo delle probabilità e statistica inferenziale, assieme a delle minime capacità di programmazione.
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni. Le lezioni teoriche sono sempre combinate con un momento di esperienza pratica, che consiste nella risoluzione di esercizi numerici o nell'implementazione di modelli teorici e metodologie nell'ambiente di programmazione R.
A lezione, il docente utilizza la lavagna e proietta al PC le slide che ha precedentemente caricato nella pagina myAriel del corso; utilizza il PC anche per illustrare l'implementazione in R dei modelli e metodi statistici presentati.
Gli studenti sono incoraggiati a verificare e migliorare le loro abilità attraverso il materiale supplementare fornito loro (principalmente, esercizi), testi di esami precedenti, questionari online, e bibliografia addizionale.
Il docente si riserva la possibilità di erogare fino al 10% delle ore di didattica frontale in modalità sincrona online, secondo quanto previsto dal Regolamento di Ateneo.
A lezione, il docente utilizza la lavagna e proietta al PC le slide che ha precedentemente caricato nella pagina myAriel del corso; utilizza il PC anche per illustrare l'implementazione in R dei modelli e metodi statistici presentati.
Gli studenti sono incoraggiati a verificare e migliorare le loro abilità attraverso il materiale supplementare fornito loro (principalmente, esercizi), testi di esami precedenti, questionari online, e bibliografia addizionale.
Il docente si riserva la possibilità di erogare fino al 10% delle ore di didattica frontale in modalità sincrona online, secondo quanto previsto dal Regolamento di Ateneo.
Materiale di riferimento
Slide e esercizi preparati dal docente disponibili su https://myariel.unimi.it/course/view.php?id=11707
Riferimenti bibliografici principali:
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2005
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2nd Edition, 2015
J.-F. Mai, M. Scherer: Financial Engineering with Copulas Explained, Palgrave Macmillan, New York, 2014
Altri riferimenti bibliografici:
M. Hofert, I. Kojadinovic, M. Machler, J. Yan: Elements of Copula Modeling with R, Springer, New York, 2018
R.G. Gallager, Stochastic Processes for Applications, Cambridge University Press, 2013
T. Mazzoni, A First Course in Quantitative Finance, Cambridge University Press, 2018
Y. Tse, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation, Cambridge University Press, 2009
Riferimenti bibliografici principali:
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2005
A.J. McNeil, R. Frey and P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press, 2nd Edition, 2015
J.-F. Mai, M. Scherer: Financial Engineering with Copulas Explained, Palgrave Macmillan, New York, 2014
Altri riferimenti bibliografici:
M. Hofert, I. Kojadinovic, M. Machler, J. Yan: Elements of Copula Modeling with R, Springer, New York, 2018
R.G. Gallager, Stochastic Processes for Applications, Cambridge University Press, 2013
T. Mazzoni, A First Course in Quantitative Finance, Cambridge University Press, 2018
Y. Tse, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation, Cambridge University Press, 2009
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame finale consiste di un test scritto che può essere sostenuto in una qualsiasi sessione di esame ed è così strutturato:
- un numero (solitamente 14) di domande a scelta multipla; per ogni domanda sono fornite 4 possibili risposte di cui una sola è corretta
- una o più domande teoriche con risposta aperta
- uno o più esercizi numerici
Le domande coprono l'intero programma del corso e bilanciando la teoria con la pratica dovrebbero sperabilmente consentire di valutare le competenze complessive dello studente.
Per svolgere la prova scritta è necessario portare con sé una calcolatrice; è possibile consultare solo le tavole statistiche, fornite in sede d'esame dal docente. Non è possibile consultare nessun altro materiale.
La prova si considera superata con un punteggio almeno pari a 18.
Gli studenti che ottengono un punteggio pari o superiore a 30 possono scegliere di verbalizzare il voto di 30/30 oppure richiedere un colloquio orale integrativo ai fini dell'eventuale attribuzione della lode. Il colloquio, da tenersi in presenza, consiste in una domanda riguardante uno degli argomenti corso tra cui, in particolare, la parte di programmazione in R. Un esito negativo del colloquio può comportare una riduzione del voto, fermo restando che il voto finale non potrà essere inferiore a 28/30. Il colloquio sarà sostenuto entro una settimana dalla pubblicazione degli esiti dell'esame su myAriel.
L'esame è finalizzato a valutare la comprensione dei modelli e dei metodi statistici trattati nel corso, la capacità di applicarli in contesti pratici e l'abilità di interpretare e discutere criticamente i risultati ottenuti.
***
Nel caso in cui i vincoli di spazio e di orario di via Conservatorio lo consentano, si organizzeranno due prove in presenza in itinere (una verso metà corso e una al termine del corso, ma prima del primo appello ufficiale), della durata di 40 minuti ciascuna.
Le date delle due prove (corrispondenti a due lezioni del calendario) saranno comunicate a inizio corso. Ciascuna prova sarà costituita da sei domande a scelta multipla (3 punti ciascuna) e un esercizio con possibili spunti teorici (14 punti).
Potrà partecipare alla seconda prova soltanto chi avrà ottenuto nella prima un punteggio almeno pari a 16.
Lo studente avrà superato l'esame qualora ottenga nella seconda prova un punteggio almeno pari a 16 e una media tra le due prove almeno pari a 18. In tal caso, il voto potrà essere verbalizzato iscrivendosi al primo appello ufficiale.
Nel caso in cui lo studente non superi o non si presenti alla seconda prova oppure ottenga una valutazione complessiva che non ritenga soddisfacente, dovrà sostenere l'esame in forma completa in uno degli appelli ufficiali. In nessun caso il punteggio ottenuto nella prima prova in itinere rimarrà valido come voto parziale.
L'eventuale assegnazione della lode avverrà secondo il criterio descritto in precedenza.
***
Il programma e i metodi di verifica dell'apprendimento tra frequentanti e non frequentanti è lo stesso.
- un numero (solitamente 14) di domande a scelta multipla; per ogni domanda sono fornite 4 possibili risposte di cui una sola è corretta
- una o più domande teoriche con risposta aperta
- uno o più esercizi numerici
Le domande coprono l'intero programma del corso e bilanciando la teoria con la pratica dovrebbero sperabilmente consentire di valutare le competenze complessive dello studente.
Per svolgere la prova scritta è necessario portare con sé una calcolatrice; è possibile consultare solo le tavole statistiche, fornite in sede d'esame dal docente. Non è possibile consultare nessun altro materiale.
La prova si considera superata con un punteggio almeno pari a 18.
Gli studenti che ottengono un punteggio pari o superiore a 30 possono scegliere di verbalizzare il voto di 30/30 oppure richiedere un colloquio orale integrativo ai fini dell'eventuale attribuzione della lode. Il colloquio, da tenersi in presenza, consiste in una domanda riguardante uno degli argomenti corso tra cui, in particolare, la parte di programmazione in R. Un esito negativo del colloquio può comportare una riduzione del voto, fermo restando che il voto finale non potrà essere inferiore a 28/30. Il colloquio sarà sostenuto entro una settimana dalla pubblicazione degli esiti dell'esame su myAriel.
L'esame è finalizzato a valutare la comprensione dei modelli e dei metodi statistici trattati nel corso, la capacità di applicarli in contesti pratici e l'abilità di interpretare e discutere criticamente i risultati ottenuti.
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Nel caso in cui i vincoli di spazio e di orario di via Conservatorio lo consentano, si organizzeranno due prove in presenza in itinere (una verso metà corso e una al termine del corso, ma prima del primo appello ufficiale), della durata di 40 minuti ciascuna.
Le date delle due prove (corrispondenti a due lezioni del calendario) saranno comunicate a inizio corso. Ciascuna prova sarà costituita da sei domande a scelta multipla (3 punti ciascuna) e un esercizio con possibili spunti teorici (14 punti).
Potrà partecipare alla seconda prova soltanto chi avrà ottenuto nella prima un punteggio almeno pari a 16.
Lo studente avrà superato l'esame qualora ottenga nella seconda prova un punteggio almeno pari a 16 e una media tra le due prove almeno pari a 18. In tal caso, il voto potrà essere verbalizzato iscrivendosi al primo appello ufficiale.
Nel caso in cui lo studente non superi o non si presenti alla seconda prova oppure ottenga una valutazione complessiva che non ritenga soddisfacente, dovrà sostenere l'esame in forma completa in uno degli appelli ufficiali. In nessun caso il punteggio ottenuto nella prima prova in itinere rimarrà valido come voto parziale.
L'eventuale assegnazione della lode avverrà secondo il criterio descritto in precedenza.
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Il programma e i metodi di verifica dell'apprendimento tra frequentanti e non frequentanti è lo stesso.
Docente/i
Ricevimento:
Il ricevimento è sospeso fino alla ripresa delle lezioni.
stanza 33, terzo piano DEMM