Algebra 3

A.A. 2019/2020
9
Crediti massimi
89
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è presentare la teoria dei campi e la teoria di Galois, con una introduzione alla teoria algebrica dei numeri.
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà conoscere i risultati di base della teoria di Galois e della teoria algebrica dei numeri. Dovrà inoltre saper calcolare il gruppo di Galois di una estensione Galoisiana di campi.
Programma e organizzazione didattica

Single session

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Teoria di Galois.
Revisione di alcune nozioni di base di algebra. Estensioni semplici, estensioni algebriche, polinomi separabili, estensioni separabili e puramente inseparabili, estensioni normali e di Galois. Campi finiti, teorema fondamentale della teoria di Galois, teorema dell'elemento primitivo, teorema di Dedekind sulla indipendenza dei caratteri, estensioni cicliche, teorema di Galois sulla risolubilità per radicali. Trace, polinomi caratteristici e discriminanti nelle algebre.

Teoria dei numeri.
Anello degli interi di u campo di numeri, struttura additiva e discriminante di un campo di numeri. Comportamento dell'anello degli interi per composizione di campi. Calcolo di anelli di interi notevoli (estensioni quadratiche e ciclotomiche). Concetto di dominio di Dedekind, proprietà rilevanti di questi anelli e dimostrazione del fatto che gli anelli degli interi dei cmapi di numeri sono domini di Dedekind. Fattorizzazione di primi. Caratterizzazione della ramificazione in termini di discriminante.
Prerequisiti
Competenze di base di algebra (Algebra 1-2).
Metodi didattici
Lezioni frontali di teoria ed esercitazioni.
Materiale di riferimento
-J. S. Milne, "Fields and Galois Theory". Disponibile alla pagina web
dell'autore: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html.

-F. Andreatta e M. Bertolini, "Appunti di Teoria dei Numeri". Disponibile
alla pagina web: http://www.mat.unimi.it/users/andreat/appuntiTN.pdf.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e di una discussione orale, da tenersi nella stessa sessione. L'esame scritto consiste di alcuni esercizi e di alcune domande teoriche (tipicamente dimostrazioni di risultati simili a quelli visti a lezione). Non è ammesso l'uso di appunti, testi, calcolatrici. Nota bene: Chi avesse sostenuto il primo parziale con esito positivo (nella parte di esercizi e/o nella parte di teoria) ha diritto allo sconto di un esercizio (nella parte di esercizi e/o teoria inerenti la teoria di Galois) negli scritti di gennaio e febbraio, non negli appelli successivi.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento
Via Cesare Saldini 50