Analisi reale

A.A. 2020/2021
9
Crediti massimi
73
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è introdurre gli studenti alle aspetti fondamentali della moderna Analisi Reale, con particolare attenzione alle questioni inerenti gli spazi di Lebesgue e gli spazi di Hilbert.
Risultati apprendimento attesi
Acquisizione e familiarità delle proprietà basilari dell'analisi reale in particolare della teoria degli spazi di Lebesgue e di Hilbert. Gli studenti saranno in grado di fornire in modo autonomo dimostrazioni di affermazioni elementari, e saranno in grado di spiegare in modo rigoroso gli aspetti teorici e pratici presentati durante l'insegnamento. Inoltre, gli studenti potenzieranno la loro capacità di lavorare insieme (in piccoli gruppi).
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Verranno rese disponibili lezioni asincrone (videolezioni costituite da registrazione del desktop del docente con commento audio), organizzate per coprire gli argomenti di ogni settimana. Le lezioni previste dall'orario potranno costituire momento di revisione e chiarimento di quanto proposto in modalita' asincrona, e verranno svolte a distanza in modalità sincrona utilizzando la piattaforma Zoom. Le modalità e i criteri per partecipare a queste lezioni saranno pubblicate per tempo nelle pagine Ariel dell'insegnamento, come pure tutto il materiale di cui sopra e gli avvisi relativi a qualsiasi aggiornamento legato all'evoluzione della normativa imposta dalla situazione emergenziale.
Programma
1. Differenziazione ed integrazione: Richiami sull'integrale di Lebesgue. Funzioni integrali ed il Teorema di Differenzazione di Lebesgue in Rn. Misure con segno ed il Teorema di Radon-Nikodym. Differenziazione di funzione monotone. Funzioni a variazione limitata, funzioni assolutamente continue ed il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale in R. Funzioni convesse ed la disuguaglianza di Jensen.

2. Spazi Lp: Definizione, disuguaglianze di Hölder e Minkowski, convergenza, completezza. Confronto fra tipi di convergenza. Il duale di Lp ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per Lp . Convoluzione e le disuguaglianze di Young. Approssimazione in Lp mediante funzioni regolari.

3. Spazi di Hilbert: Definizione e proprietà fondamentali. Proiezioni e teorema delle proiezioni. Funzionali lineari continui ed il Teorema di Rappresentazione di Riesz per spazi di Hilbert. Forme bilineari ed il Teorema di Lax-Milgram. Basi ortonormali e separabilità. Sviluppi in serie di Fourier ed esempi fondamentali di sistemi completi. Nuclei di convoluzione e convergenza puntuale di serie di Fourier. Operatori lineari limitati. Operatori autoaggiunti e operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti su spazi di Hilbert separabili.
Prerequisiti
Conoscenza della teoria di misura ed integrazione incluso la teoria di Lebesgue e Hausdorff. Tale materiale viene trattato nel corso di Analisi Matematica 4.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni, entrambe fortemente consigliate.
Materiale di riferimento
- R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol 43, Marcel Dekker, Inc., New York, 1977.
- G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, Inc, New York, 1999.
- E. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lectures in Analysis, Vol. III, Princeton University Press, Princeton, 2005.
- E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Lectures in Analysis, Vol. I, Princeton University Press, Princeton, 2003.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di esercizi da risolvere a casa (tipicamente tre compiti a casa con diversi esercizi su ogni capitolo del corso) e una prova orale.

- Nei compiti a casa verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di sulla applicazione dei risultati principali e per testare la conoscenza delle definizioni importanti.
- Alla prova orale accedono solo gli studenti che hanno svolto in modo regolare i compiti a casa. Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema legato alla comprensione delle definizioni principali, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se viene superata la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 9
Esercitazioni: 24 ore
Lezioni: 49 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
da lunedi a venerdi su appuntamento
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, primo piano, stanza 1044
Ricevimento:
su appuntamento
ufficio 1044, I piano Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques", Via Saldini, 50