Geometria 2
A.A. 2021/2022
Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è completare il background di algebra lineare presentando alcuni concetti fondamentali di questa teoria, nonché introdurre alla geometria degli spazi proiettivi da un lato e quella degli spazi affini euclidei dall'altro. Gli strumenti introdotti sono anche utilizzati per studiare la geometria degli enti quadratici nei vari ambienti.
Risultati apprendimento attesi
Al ternine dell'insegnamento lo studente dovrà dimostrare di conoscere gli strumenti di algebra lineare e dovrà saperli applicare. Dovrà inoltre saper adeguatamente inquadrare e trattare i problemi geometrici considerati.
Periodo: Secondo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Secondo semestre
In relazione alle modalità di erogazione delle attività formative per l'a.a. 2021/22, verranno date indicazioni più specifiche nei prossimi mesi, in base all'evoluzione della situazione sanitaria.
Programma
1. Endomorfismi di spazi vettoriali e loro forme canoniche
Richiami su autovalori e autovettori di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili. Polinomio minimo. Teorema di Cayley Hamilton. Forma canonica di Jordan..
2. Spazi vettoriali euclidei
Prodotti interni in spazi vettoriali reali e complessi. Basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt. Isometrie e gruppo ortogonale. Endomorfismi simmetrici. Teorema spettrale reale. Il caso complesso.
3. Forme bilineari e quadratiche
Forme multilineari. Forme bilineari; matrici congruenti. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica. Forme quadratiche reali. Teorema di Sylvester. Forme quadratiche complesse.
4. Geometria in spazi n-dimensionali su un campo arbitrario
Spazi affini euclidei. Riferimenti ortonormali. Sottospazi lineari e loro rappresenta- zioni. Distanze, angoli, volumi. Cambiamenti di coordinate e trasformazioni. Spazi proiettivi. Sottospazi lineari proiettivi e loro rappresentazioni. Formula di Grassmann. Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Lo spazio affine complementare di un iperpiano. Proiettività e affinità. Concetto di geometria secondo F. Klein.
5. Quadriche e coniche
Quadriche e iperquadriche dal punto di vista proiettivo reale/complesso: punti singolari; riducibilità, classificazione. Iperquadriche nello spazio affine. Iperquadriche nello spazio euclideo.
6. La dualità
Duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Omomorfismo trasposto. Sottospazi annullatori e loro proprietà. Principio di dualità in geometria proiettiva.
Richiami su autovalori e autovettori di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili. Polinomio minimo. Teorema di Cayley Hamilton. Forma canonica di Jordan..
2. Spazi vettoriali euclidei
Prodotti interni in spazi vettoriali reali e complessi. Basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt. Isometrie e gruppo ortogonale. Endomorfismi simmetrici. Teorema spettrale reale. Il caso complesso.
3. Forme bilineari e quadratiche
Forme multilineari. Forme bilineari; matrici congruenti. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica. Forme quadratiche reali. Teorema di Sylvester. Forme quadratiche complesse.
4. Geometria in spazi n-dimensionali su un campo arbitrario
Spazi affini euclidei. Riferimenti ortonormali. Sottospazi lineari e loro rappresenta- zioni. Distanze, angoli, volumi. Cambiamenti di coordinate e trasformazioni. Spazi proiettivi. Sottospazi lineari proiettivi e loro rappresentazioni. Formula di Grassmann. Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Lo spazio affine complementare di un iperpiano. Proiettività e affinità. Concetto di geometria secondo F. Klein.
5. Quadriche e coniche
Quadriche e iperquadriche dal punto di vista proiettivo reale/complesso: punti singolari; riducibilità, classificazione. Iperquadriche nello spazio affine. Iperquadriche nello spazio euclideo.
6. La dualità
Duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Omomorfismo trasposto. Sottospazi annullatori e loro proprietà. Principio di dualità in geometria proiettiva.
Prerequisiti
Gli argomenti di matematica presentati nel corso di Elementi di matematica di base e negli insegnamenti del primo semestre.
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni ed esercitazioni frontali.
Tutorato: 2 ore alla settimana per 12-13 settimane.
Tutorato: 2 ore alla settimana per 12-13 settimane.
Materiale di riferimento
C. Ciliberto. Algebra Lineare. Bollati Boringhieri, Torino, 1994.
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989.
E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame si articola in una prova scritta a cui segue una prova orale (se la prova scritta è superata).
La prova scritta richiede la soluzione di esercizi aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati nelle esercitazioni, ed è volta ad accertare le capacità acquisite a risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso. Una parte della prova scritta può essere superata attraverso una prova intermedia che si svolge circa a metà corso.
La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma, volto prevalentemente ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici affrontati nel corso.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
La prova scritta richiede la soluzione di esercizi aventi contenuti e difficoltà analoghi a quelli affrontati nelle esercitazioni, ed è volta ad accertare le capacità acquisite a risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso. Una parte della prova scritta può essere superata attraverso una prova intermedia che si svolge circa a metà corso.
La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma, volto prevalentemente ad accertare la conoscenza degli argomenti teorici affrontati nel corso.
L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/03 - GEOMETRIA - CFU: 9
Esercitazioni: 48 ore
Lezioni: 45 ore
Lezioni: 45 ore
Docente/i
Ricevimento:
Mercoledì 15:30-16:30
Dipartimento di Matematica, via C. Saldini 50. Ufficio: 1.109
Ricevimento:
Per appuntamento (scrivere e-mail al docente)
studio Turrini - Dip. di Matematica - v. Saldini, 50