Statistica matematica avanzata
A.A. 2026/2027
Obiettivi formativi
Il corso introduce in modo rigoroso la teoria dei processi gaussiani e il loro uso in statistica non parametrica, machine learning e intelligenza artificiale probabilistica. Al termine del corso lo studente saprà definire e costruire processi gaussiani a partire da funzioni di covarianza, comprendere il ruolo dei kernel positivi, derivare le formule di inferenza per la regressione gaussiana, utilizzare modelli spazio-temporali, stimare iperparametri tramite likelihood marginale e applicare processi gaussiani a problemi di classificazione, Bayesian optimization, Deep Gaussian Processes e modelli latenti.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso lo studente avrà acquisito una solida conoscenza teorica dei processi gaussiani e dei principali strumenti matematici e statistici ad essi associati, inclusi kernel positivi, inferenza bayesiana e modellazione non parametrica. Sarà in grado di costruire e analizzare modelli basati su processi gaussiani, applicandoli a problemi di regressione, classificazione, dati spazio-temporali e machine learning probabilistico. Lo studente svilupperà inoltre competenze nell'implementazione computazionale di tali modelli mediante Python e PyTorch, maturando capacità critiche nella valutazione dell'incertezza, nella scelta delle strutture di covarianza e nell'utilizzo di metodologie avanzate per applicazioni di intelligenza artificiale probabilistica.
Periodo: Primo semestre
Modalità di valutazione: Esame
Giudizio di valutazione: voto verbalizzato in trentesimi
Corso singolo
Questo insegnamento non può essere seguito come corso singolo. Puoi trovare gli insegnamenti disponibili consultando il catalogo corsi singoli.
Programma e organizzazione didattica
Edizione unica
Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Introduzione ai processi gaussiani e ai loro fondamenti probabilistici. Distribuzioni finito-dimensionali, funzioni di media e covarianza, processi gaussiani e risultati fondamentali di esistenza. Kernel definiti positivi, teoremi di Mercer e Bochner, rappresentazioni spettrali e cenni agli spazi di Hilbert a nucleo riproducente. Inferenza bayesiana con processi gaussiani: condizionamento gaussiano, regressione, distribuzioni posteriori e predittive, likelihood marginale e stima degli iperparametri. Modelli per dati multidimensionali e spazio-temporali. Applicazioni al machine learning: kernel methods, classificazione con processi gaussiani, Bayesian optimization e tecniche di approssimazione. Introduzione ai Deep Gaussian Processes, alle connessioni con le reti neurali e ai modelli probabilistici per l'intelligenza artificiale. Attività di laboratorio in Python e PyTorch dedicate all'implementazione e all'analisi di modelli basati su processi gaussiani.
Prerequisiti
Sono richieste buone conoscenze di probabilità, statistica matematica, analisi, algebra lineare e calcolo matriciale. Sono utili nozioni di base di programmazione scientifica in Python.
Metodi didattici
Il corso prevede **42 ore di lezioni frontali e 36 ore di attività di laboratorio computazionale**. Le lezioni sono dedicate agli aspetti teorici, alle dimostrazioni matematiche e alla modellazione statistica, mentre i laboratori forniscono esperienza pratica nell'implementazione di modelli mediante **Python e PyTorch**. Le attività laboratoriali includono momenti di lavoro collaborativo finalizzati a favorire la discussione, il confronto tra studenti e la risoluzione di problemi. Il corso è organizzato su **circa 7 ore settimanali**, di cui fino a **4 ore dedicate alle attività di laboratorio**.
Materiale di riferimento
Rasmussen, C. E., Williams, C. K. I., Gaussian Processes for Machine Learning, MIT Press.
Murphy, K. P., Probabilistic Machine Learning: Advanced Topics, MIT Press.
Stein, M. L., Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging, Springer.
Genton, M. G. (Ed.), Covariance Functions and Their Applications.
Neal, R. M., Bayesian Learning for Neural Networks.
Murphy, K. P., Probabilistic Machine Learning: Advanced Topics, MIT Press.
Stein, M. L., Interpolation of Spatial Data: Some Theory for Kriging, Springer.
Genton, M. G. (Ed.), Covariance Functions and Their Applications.
Neal, R. M., Bayesian Learning for Neural Networks.
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
La valutazione si basa su cinque prove intermedie, ciascuna composta da una parte teorica e da esercizi computazionali o piccoli progetti.
MATH-03/B - Probabilita' e statistica matematica - CFU: 9
Laboratori: 36 ore
Lezioni: 42 ore
Lezioni: 42 ore
Docenti:
Aletti Giacomo, Micheletti Alessandra
Docente/i
Ricevimento:
su appuntamento
ufficio 2099
Ricevimento:
Su appuntamento per email
studio o online (videoconferenza)