Algebra 1

A.A. 2019/2020
9
Crediti massimi
89
Ore totali
SSD
MAT/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire una introduzione alle costruzioni fondamentali della matematica: i numeri e le strutture algebriche. In particolare, nell'insegnamento si affronta la costruzione dei numeri naturali mediante il concetto di insieme e si illustra l'importanza del concetto di struttura algebrica per varie costruzioni di insiemi numerici (per esempio quella dei numeri interi a partire dai numeri naturali).
Risultati apprendimento attesi
Al termine dell'insegnamento lo studente avrà acquisito competenza del linguaggio di base dell'Algebra, nonché la conoscenza delle principali strutture algebriche astratte mediante lo studio dell'algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Infine, lo studente avrà appreso i tratti essenziali della teoria dei moduli.
Programma e organizzazione didattica

Algebra 1 (ediz. 1)

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Richiami su insiemi, relazioni tra insiemi e funzioni. Teorema di Cantor. Numeri naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Assioma della scelta. Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi numerabili e cardinalità. Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine. Reticoli. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. Teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e a ideali principali (PID). Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. Basi e rango di un modulo.
Prerequisiti
Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni.
Materiale di riferimento
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina, 2013
D.Dikranjan, M.S.Lucido: Aritmetica e Algebra. Liguori, 2007
M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra. Liguori, 1994
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.

- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo o del secondo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta dello stesso appello d'esame (o le prove intermedie). Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore

Algebra 1 (ediz.2)

Responsabile
Periodo
Primo semestre
Programma
Richiami su insiemi, relazioni tra insiemi e funzioni. Teorema di Cantor. Numeri naturali, assiomi di Peano e induzione. Ricorsività. Insiemi finiti e insiemi infiniti. Assioma della scelta. Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi numerabili e cardinalità. Costruzione degli interi e dei razionali. Relazioni d'ordine. Reticoli. Numeri primi. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. Teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Caratteristica di un anello. Anelli di polinomi. Irriducibilità e fattorizzazione unica. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e a ideali principali (PID). Anelli euclidei. Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. Moduli e algebre: moduli finitamente generati e liberi. Basi e rango di un modulo.
Prerequisiti
Non si richiedono specifiche conoscenze matematiche preliminari.
Metodi didattici
Lezioni frontali, esercitazioni.
Materiale di riferimento
L. Barbieri Viale: Che cos'è un numero? Un'introduzione all'Algebra. Raffaello Cortina, 2013
D.Dikranjan, M.S.Lucido: Aritmetica e Algebra. Liguori, 2007
M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra. Liguori, 1994
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.

- Nella prova scritta verranno assegnati alcuni esercizi a risposta aperta, atti a verificare la capacità di risolvere problemi mediante le tecniche sviluppate durante il corso. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste due prove intermedie che sostituiscono la prova scritta del primo o del secondo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie verranno comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta dello stesso appello d'esame (o le prove intermedie). Durante la prova orale verrà richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e verrà comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/02 - ALGEBRA - CFU: 9
Esercitazioni: 44 ore
Lezioni: 45 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Su appuntamento.
Studio 2050 (Sottotetto) - Dipartimento di Matematica
Ricevimento:
su appuntamento via e-mail
studio 1026, Via Saldini 50
Ricevimento:
Mercoledì, 13.30-15.30 (per una migliore organizzazione si invita a contattare il docente per email)
Dipartimento di Matematica, II piano, studio 2093