Analisi matematica 2

A.A. 2019/2020
6
Crediti massimi
60
Ore totali
SSD
MAT/05
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
L'insegnamento è finalizzato a fornire nozioni e strumenti esclusivamente di base nell`ambito del calcolo integrale classico per funzioni reali di una o più variabili reali e del calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.
Risultati apprendimento attesi
Autonomia nell'utilizzo delle principali tecniche di calcolo. Capacità di collegare tra loro diversi aspetti della disciplina.
Programma e organizzazione didattica

Analisi Matematica 2 (ediz. 1)

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Calcolo integrale (secondo Riemann) per f: R-->R
Anti-derivazione, funzioni primitive, l'integrale indefinito. Tecniche di calcolo degli integrali indefiniti. Riemann-integrabilità per f:[a,b] R e l'integrale definito. Significato geometrico dell'integrale. Condizioni di integrabilità. Proprietà dello spazio delle funzioni integrabili e dell'integrale. La funzione integrale e le sue proprietà. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e le sue conseguenze. Integrali impropri, condizioni di convergenza ed esempi. Relazioni tra integrali e serie numeriche.
2. Calcolo differenziale per f: Rn-->Rm
Limiti, continuità e problematiche connesse.
Il caso delle funzioni reali: derivate direzionali; vettore gradiente, legami tra derivabilità direzionale e continuità. Differenziabilità: condizioni necessarie, teorema del differenziale totale, iper-piano tangente, significato geometrico del vettore gradiente, funzioni di classe C¹. Teorema di Lagrange.
Il caso delle funzioni vettoriali: matrice jacobiana; differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili. Teorema dell'incremento finito.
Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwartz. Il differenziale secondo come forma bilineare. Funzioni di classe C². Derivate direzionali di ordine k. La formula di Taylor, con resti secondo Peano e Lagrange.
Ottimizzazione libera per funzioni reali: punti stazionari, estremanti, di sella. Utilizzo della matrice hessiana per la classificazione dei punti estremanti: il ruolo degli autovalori.
Integrale Riemann per funzioni reali di più variabili reali.
L'integrale di Riemann per funzioni definite in (pluri-)rettangoli, e il calcolo per mezzo degli integrali iterati. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, la misura di P-J e le sue proprietà. Insiemi di misura nulla, funzioni quasi-ovunque continue e loro integrabilità. Calcolo esplicito mediante integrazione iterata; insiemi normali rispetto agli assi coordinati. Diffeomorfismi tra aperti di R^n. Integrazione mediante cambiamento delle variabili. Integrali multipli impropri. Integrale gaussiano, il calcolo del volume della sfera unitaria n-dimensionale, la funzione Γ di Eulero.
Prerequisiti
E` fortemente consigliato il superamento degli esami: "Analisi Matematica 1" e "Geometria 1".
Metodi didattici
Lezioni frontali. Esercitazioni. Assegnazione di esercizi e loro discussione durante le ore di tutorato.
Materiale di riferimento
Durante le lezioni verranno indicati testi specifici di riferimento per i singoli argomenti svolti, scelti fra i seguenti che si segnalano in ogni caso almeno per la consultazione:
C.Maderna, "Analisi Matematica 2" II ediz., CittàStudi ed., 2010.
C.Maderna, P.M.Soardi, "Lezioni di Analisi Matematica II", CittàStudi ed., 1997.
C.D.Pagani, S.Salsa, "Analisi Matematica, v.2", Zanichelli ed., 2016.
P.M.Soardi, "Analisi Matematica", CittàStudi ed., 2010.
B.Gelbaum, J.Olmsted, "Counterexamples in Analysis", Holden-Day.
W.Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, "Analisi Matematica due", Liguori ed.

Inoltre, per prepararsi alla prova scritta:
http://users.mat.unimi.it/users/vignati/Esercizi-An2-Mat-gram.html
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.
- Nella prova scritta vengono assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di Analisi Matematica. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste 2 prove intermedie, che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie vengono comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame o dell'appello precedente. Durante la prova orale viene richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema di Analisi Matematica, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e viene comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 33 ore
Lezioni: 27 ore

Analisi Matematica 2 (ediz. 2)

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1. Calcolo integrale (secondo Riemann) per f: R-->R
Anti-derivazione, funzioni primitive, l'integrale indefinito. Tecniche di calcolo degli integrali indefiniti. Riemann-integrabilità per f:[a,b] R e l'integrale definito. Significato geometrico dell'integrale. Condizioni di integrabilità. Proprietà dello spazio delle funzioni integrabili e dell'integrale. La funzione integrale e le sue proprietà. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e le sue conseguenze. Integrali impropri, condizioni di convergenza ed esempi. Relazioni tra integrali e serie numeriche.
2. Calcolo differenziale per f: Rn-->Rm
Limiti, continuità e problematiche connesse.
Il caso delle funzioni reali: derivate direzionali; vettore gradiente, legami tra derivabilità direzionale e continuità. Differenziabilità: condizioni necessarie, teorema del differenziale totale, iper-piano tangente, significato geometrico del vettore gradiente, funzioni di classe C¹. Teorema di Lagrange.
Il caso delle funzioni vettoriali: matrice jacobiana; differenziabilità. Composizione di funzioni differenziabili. Teorema dell'incremento finito.
Derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwartz. Il differenziale secondo come forma bilineare. Funzioni di classe C². Derivate direzionali di ordine k. La formula di Taylor, con resti secondo Peano e Lagrange.
Ottimizzazione libera per funzioni reali: punti stazionari, estremanti, di sella. Utilizzo della matrice hessiana per la classificazione dei punti estremanti: il ruolo degli autovalori.
Integrale Riemann per funzioni reali di più variabili reali.
L'integrale di Riemann per funzioni definite in (pluri-)rettangoli, e il calcolo per mezzo degli integrali iterati. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, la misura di P-J e le sue proprietà. Insiemi di misura nulla, funzioni quasi-ovunque continue e loro integrabilità. Calcolo esplicito mediante integrazione iterata; insiemi normali rispetto agli assi coordinati. Diffeomorfismi tra aperti di R^n. Integrazione mediante cambiamento delle variabili. Integrali multipli impropri. Integrale gaussiano, il calcolo del volume della sfera unitaria n-dimensionale, la funzione Γ di Eulero.
Prerequisiti
E` fortemente consigliato il superamento degli esami: "Analisi Matematica 1" e "Geometria 1".
Metodi didattici
Lezioni frontali. Esercitazioni. Assegnazione di esercizi e loro discussione durante le ore di tutorato.
Materiale di riferimento
Durante le lezioni verranno indicati testi specifici di riferimento per i singoli argomenti svolti, scelti fra i seguenti che si segnalano in ogni caso almeno per la consultazione:
C.Maderna, "Analisi Matematica 2" II ediz., CittàStudi ed., 2010.
C.Maderna, P.M.Soardi, "Lezioni di Analisi Matematica II", CittàStudi ed., 1997.
C.D.Pagani, S.Salsa, "Analisi Matematica, v.2", Zanichelli ed., 2016.
P.M.Soardi, "Analisi Matematica", CittàStudi ed., 2010.
B.Gelbaum, J.Olmsted, "Counterexamples in Analysis", Holden-Day.
W.Rudin, "Principles of Mathematical Analysis", McGraw-Hill
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone, "Analisi Matematica due", Liguori ed.

Inoltre, per prepararsi alla prova scritta:
http://users.mat.unimi.it/users/vignati/Esercizi-An2-Mat-gram.html
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
L'esame consiste di una prova scritta e una prova orale.
- Nella prova scritta vengono assegnati alcuni esercizi a risposta aperta e/o chiusa, atti a verificare la capacità di risolvere problemi di Analisi Matematica. La durata della prova scritta è commisurata al numero e alla struttura degli esercizi assegnati, ma non supererà comunque le tre ore. Sono previste 2 prove intermedie, che sostituiscono la prova scritta del primo appello. Gli esiti delle prove scritte e delle prove intermedie vengono comunicate sul SIFA attraverso il portale UNIMIA.
- Alla prova orale accedono solo gli Studenti che hanno superato la prova scritta (o le prove intermedie) dello stesso appello d'esame o dell'appello precedente. Durante la prova orale viene richiesto di illustrare alcuni risultati del programma dell'insegnamento, nonché di risolvere qualche problema di Analisi Matematica, al fine di valutare le conoscenze e la comprensione degli argomenti trattati, nonché la capacità di saperli applicare.

L'esame si intende superato se vengono superate la prova scritta e la prova orale. Il voto è espresso in trentesimi e viene comunicato immediatamente al termine della prova orale.
MAT/05 - ANALISI MATEMATICA - CFU: 6
Esercitazioni: 33 ore
Lezioni: 27 ore
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
Giovedì dalle 14:30 alle 16:30 o su appuntamento
Ufficio
Ricevimento:
da lunedi a venerdi su appuntamento
Dipartimento di Matematica, via Saldini 50, primo piano, stanza 1044
Ricevimento:
su appuntamento
ufficio 1044, I piano Dipartimento di Matematica "Federigo Enriques", Via Saldini, 50
Ricevimento:
mercoledi` 12.30-14.00, oppure su appuntamento
Dip. Matematica, via C.Saldini 50, studio R013, pianoterra